在拋物線f(x)＝－x²＋ax與x軸所圍成圖形的內(nèi)接矩形(一邊在x軸上)中(如圖)，求周長最長的內(nèi)接矩形兩邊之比，其中a是正實數(shù)．

對于函數(shù)f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點．如果函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋1(a＞0)有兩個相異的不動點x₁、x₂．

(Ⅰ)若x₁＜1＜x₂，且f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱，求證m＞；

(Ⅱ)若|x₁|＜2且|x₁－x₂|＝2，求b的取值范圍．

直線y＝mx－3與拋物線C₁：y＝x²＋5mx－4m，C₂：y＝x²＋(2m－1)x＋m²－3，C₃：y＝x²＋3mx－2m－3中至少有一條相交，則m的取值范圍是．

下圖是二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c的圖像，它與x軸交于點(x₁，0)和(x₂，0)，試確定a，b，c以及x₁x₂，x₁＋x₂的符號．

若f(x)＝x²＋bx＋c，不論a 、b 為何實數(shù)，恒有f(sina )≥0，f(2＋cosb )≤0．

(Ⅰ)求證：b＋c＝－1；

(Ⅱ)求證：c≥3；

(Ⅲ)若函數(shù)f(sina )的最大值為8，求b、c的值．

已知函數(shù)f(x)＝x²＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]時，有f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍．

已知函數(shù)f(x)＝lg(ax²＋2x＋1)．

(I)若函數(shù)f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；

(II)若函數(shù)f(x)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

當(dāng)a，b，c具有什么關(guān)系時，二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c的函數(shù)值恒大于零？恒小于零？

求二次函數(shù)f(x)＝－2x²＋6x在下列定義域上的值域：

(1)定義域為{x∈Z|0≤x≤3}；

(2)定義域為[－2，1]．

指出函數(shù)y＝－x²＋2|x|＋3的單調(diào)區(qū)間．