已知函數(shù)f(x)＝sinx，數(shù)列{a_n}滿足a_n＝，a_n+1＝f(a_n)．

(1)求證：當x∈(0，)時，不等式x＜f(x)＜x恒成立；

(2)設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，求證：≤S_n≤[()ⁿ－1]．

已知橢圓C：(a＞b＞0)經(jīng)過點P(1，)，且兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直角三角形．

(1)求橢圓的方程；

(2)動直線l：mx＋ny＋n＝0(m，n∈R)交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T．若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖1所示，在邊長為12的正方形中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB＝3，BC＝4，分別交BB₁，CC₁于點P、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得與AA₁重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC－A₁B₁C₁，請在圖2中解決下列問題：

(1)求證：AB⊥PQ；

(2)在底邊AC上有一點M，滿足AM∶MC＝3∶4，求證：BM∥平面APQ．

(3)求直線BC與平面APQ所成角的正弦值．

一個口袋中有2個白球和n個紅球(n≥2，且n∈N^*)，每次從袋中摸出兩個球(每次摸球后把這兩個球放回袋中)，若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎．

(1)試用含n的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率P；

(2)若n＝3，求三次摸球恰有一次中獎的概率；

(3)記三次摸球恰有一次中獎的概率為f(p)，當n為何值時，f(p)最大．

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且4sin²－cos2C＝．

(1)求角C的大小；

(2)求△ABC的面積．

已知雙曲線C的中心在坐標原點，漸近線方程是3x±2y＝0，左焦點的坐標為(－，0)，A、B為雙曲線C上的兩個動點，滿足．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)求的值；

(3)動點P在線段AB上，滿足，求證：點P在定圓上．

對于正項數(shù)列{a_n}，定義其調(diào)和平均值為A(n)＝n∈N^*

(1)若A(n)＝，求{a_n}的通項公式；

(2)已知{b_n}為等比數(shù)列，且b₁＝1，公比為，其調(diào)和均值為B(n)，是否存在正整數(shù)n滿足B(n)＝，如果存在，求n的值，如不存在，說明理由．

已知函數(shù)f(x)＝x³－ax²－a²x＋1，g(x)＝1－4x－ax²，其中實數(shù)a≠0，

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若a＞0，且f(x)與g(x)在區(qū)間(－a，－a＋2)內(nèi)均為增函數(shù)，求a的取值范圍．

如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝2CD＝2a，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD＝90°，M為AP的中點．

(1)求證：AD⊥PB；

(2)求二面角A－BC－P的正切值．

(3)求點M到平面PBD的距離．

甲，乙，丙三個同學同時報名參加某重點高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序為審核材料和文化測試，只有審核過關(guān)才能參加文化測試，文化測試合格者即可獲得自主招生入選資格，因為甲，乙，丙三人各有優(yōu)勢，甲，乙，丙三人審核過關(guān)的概率分別為0.5，0.6，0.4，審核過關(guān)后，甲，乙，丙三人文化測試合格的概率分別為0.6，0.5，0.75．

(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通過審核的概率；

(2)求甲，乙，丙三人中至少有兩人獲得自主招生入選資格的概率．