已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：。
（1）求的通項(xiàng)公式
（2）當(dāng)時(shí)，求證：

已知數(shù)列滿足,且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）設(shè)，記，證明：.

對(duì)于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).
（Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，且；又?jǐn)?shù)列滿足：.
求證：(1)是數(shù)列的母函數(shù)；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
（Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

已知數(shù)列的前項(xiàng)和，
(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ) 令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

數(shù)列滿足，（），是常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求及的值；
（Ⅱ）數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由．

已知數(shù)列是等差數(shù)列，
（1）判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，并說明理由；
（2）如果，試寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，若數(shù)列得前n項(xiàng)和為，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值。若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。

已知數(shù)列的前項(xiàng)和是二項(xiàng)式展開式中含奇次冪的系數(shù)和．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的值．

已知數(shù)列，滿足：．
（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，且．
① 記，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
② 若數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，求首項(xiàng)應(yīng)滿足的條件．

在數(shù)列中，是數(shù)列前項(xiàng)和，，當(dāng)
（1）證明為等差數(shù)列；；
（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意自然數(shù)，都有成立？若存在，
求出m 的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列
（1）求通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和