已知拋物線的焦點坐標為，過的直線交拋物線于兩點，直線分別與直線：相交于兩點．

(1)求拋物線的方程；
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．

在直角坐標系上取兩個定點，再取兩個動點且．
（I）求直線與交點的軌跡的方程；
（II）已知，設(shè)直線：與（I）中的軌跡交于、兩點，直線、 的傾斜角分別為且，求證：直線過定點，并求該定點的坐標.

已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為.從這個圓上任意一點向軸作垂線，為垂足.
（Ⅰ）求線段中點的軌跡方程；
（Ⅱ）已知直線與的軌跡相交于兩點，求的面積

已知橢圓拋物線的焦點均在軸上，的中心和 的頂點均為坐標原點從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

設(shè)橢圓：的左、右焦點分別是、，下頂點為，線段的中點為（為坐標原點），如圖.若拋物線：與軸的交點為，且經(jīng)過、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)，為拋物線上的一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于、兩點，求面積的最大值．

如圖，已知圓心坐標為的圓與軸及直線均相切，切點分別為、，另一圓與圓、軸及直線均相切，切點分別為、．

（1）求圓和圓的方程；
（2）過點作的平行線，求直線被圓截得的弦的長度；

已知A（－5，0），B（5，0），動點P滿足｜｜，｜｜，8成等差數(shù)列．
（1）求P點的軌跡方程；
（2）對于x軸上的點M，若滿足｜｜·｜｜＝，則稱點M為點P對應(yīng)的“比例點”.問：對任意一個確定的點P，它總能對應(yīng)幾個“比例點”?

在平面直角坐標系中，點為動點，、分別為橢圓的左、右焦點．已知為等腰三角形.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡
方程.

如圖，斜率為的直線過拋物線的焦點，與拋物線交于兩點A、B， M為拋物線弧AB上的動點.

(Ⅰ).若，求拋物線的方程；
(Ⅱ).求△ABM面積的最大值.

如圖，點分別是橢圓C:的左、右焦點，過點作軸的垂線，交橢圓的上半部分于點，過點作的垂線交直線于點.

（1）如果點的坐標為（4,4），求橢圓的方程；
（2）試判斷直線與橢圓的公共點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.