（本小題滿分14分）數(shù)列和數(shù)列由下列條件確定：
①；
②當(dāng)時(shí)，與滿足如下條件：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。
解答下列問題：
（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；
（Ⅲ）是滿足的最大整數(shù)時(shí)，用表示n的滿足的條件。

（本小題滿分14分）已知數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和滿足.令.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若，求證：（）；
（Ⅲ）令（），求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有的值：①對(duì)于任意正整數(shù)，都有；②對(duì)于任意的，均存在，使得時(shí)，.

（本小題滿分15分）已知等差數(shù)列{a_n}中，首項(xiàng)a₁＝1，公差d為整數(shù)，且滿足a₁+3＜a₃，a₂+5＞a₄，數(shù)列{b_n}滿足，其前n項(xiàng)和為S_n．（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；（2）若S₂為S₁，S_m(m∈N*)的等比中項(xiàng)，求正整數(shù)m的值．

在xOy平面上有一點(diǎn)列P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),…,P_n(a_n,b_n)…,對(duì)每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)P_n位于函數(shù)y=2000()^x(0<a<1)的圖像上，且點(diǎn)P_n,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以P_n為頂點(diǎn)的等腰三角形.
(1)求點(diǎn)P_n的縱坐標(biāo)b_n的表達(dá)式；
(2)若對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n,以b_n,b_n+1,b_n+2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；
(3)設(shè)C_n=lg(b_n)(n∈N^*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列{C_n}前多少項(xiàng)的和最大？試說明理由.

（本題滿分12分）在等比數(shù)列中，，并且(1)求以及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求當(dāng)最大時(shí)的值.

已知函數(shù)，其中p>0,p+q>1。對(duì)于數(shù)列，設(shè)它的前n項(xiàng)之和為，且。
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證明：（3）證明：點(diǎn)，，，，共線

（12分）已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，為其前項(xiàng)的和，且
（I）分別求，的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)；（III）求證：

在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)是第一象限的兩個(gè)點(diǎn)，若1，x₁，x₂，4依次成等差數(shù)列，而1，y₁，y₂，8依次成等比數(shù)列，則△OP₁P₂的面積是_________.

從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用水加滿；這樣倒了n次，則容器中有純酒精_________升.