正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，沿AE、EF、AF折成四面體則四面體PAEF使B、C、D三點(diǎn)重合于P，則P到面AEF的距離為．

已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都為5，全面積為16，求它的底面邊長(zhǎng)．

已知x²+y²-4x+2y-11=0的圓心為A，點(diǎn)P在圓上，求PA中點(diǎn)M的軌跡方程．

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在X軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，△MF₁F₂的面積為4，過(guò)F1的直線(xiàn)l與橢圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，△ABF₂的周長(zhǎng)為8

2

．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）若N是左標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，G是△MF₁F₂的重心，且

GF2

•

ON

=0，求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；
（Ⅲ）點(diǎn)p審此橢圓上一點(diǎn)，但非短軸端點(diǎn)，并且過(guò)P可作（Ⅱ）中所求得軌跡的兩條不同的切線(xiàn)，Q、R是兩個(gè)切點(diǎn)，求

PQ

•

PR

的最小值．

已知點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，若|PF|的最小值為

1

2

a，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（　�。�

若橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

3

2

，點(diǎn)D（

a

2

，

3

2

）在該橢圓上．
（1）求橢圓方程；
（2）在直線(xiàn)x=

4 3

3

上任取點(diǎn)P，過(guò)P作橢圓切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），證明：直線(xiàn)PA方程為

x1x

4

+yy₁=1，且直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)．

方程

x2

3

-

y2

sin(2a+ π 4 )

=1表示橢圓，則a的取值范圍是（　�。�

已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，離心率為

3

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖所示，A₁，A₂，B₁，B₂是橢圓C的頂點(diǎn)，E是橢圓上任意一點(diǎn)（頂點(diǎn)除外）B₁E交x軸于點(diǎn)P，直線(xiàn)A₂B₁交A₁E于點(diǎn)G，設(shè)直線(xiàn)A₁E的斜率為k₁，直線(xiàn)GP的斜率為k₂，證明k₁-2k₂為定值，并求出這個(gè)定值．

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側(cè)面PAB是正三角形，AB=2，BC=

2

，PC=

6

，
（Ⅰ）求證：PD⊥AC；
（Ⅱ）已知棱PA上有一點(diǎn)E，若二面角E-BD-A的大小為45°，試求BP與平面EBD所成角的正弦值．

桌面上一矩形紙板ABCD，繞邊AB旋轉(zhuǎn)

π

4

，再繞邊AD旋轉(zhuǎn)

π

4

，則此時(shí)的平面與旋轉(zhuǎn)前的平面所成的二面角的大小為．