Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，離心率為

3

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖所示，A₁，A₂，B₁，B₂是橢圓C的頂點(diǎn)，E是橢圓上任意一點(diǎn)（頂點(diǎn)除外）B₁E交x軸于點(diǎn)P，直線A₂B₁交A₁E于點(diǎn)G，設(shè)直線A₁E的斜率為k₁，直線GP的斜率為k₂，證明k₁-2k₂為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意得

2b=2 c a = 3 2 a2=b2+c2

，從而求出a=2，b=1，c=

3

；從而寫(xiě)出橢圓方程；
（2）可設(shè)直線A₁E的方程為y=k₁（x+2）；從而求出E（-

8 k 2 1 -2

4 k 2 1 +1

，

1

4 k 2 1 +1

4

k

1

），再由直線A₂B₁與直線A₁E方程聯(lián)立求出點(diǎn)G（

2-4k1

2k1+1

，

4k1

2k1+1

），再由B₁（0，1），E（-

8 k 2 1 -2

4 k 2 1 +1

，

1

4 k 2 1 +1

4

k

1

），P（x，0）共線求點(diǎn)P（-

4k1+2

2k1-1

，0），從而表示出PG的斜率k₂，從而求k₁-2k₂是定值．

解答： 解：（1）由題意，

2b=2 c a = 3 2 a2=b2+c2

，
解得，a=2，b=1，c=

3

；
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y²=1；
（2）證明：∵A₁（-2，0），E是橢圓上任意一點(diǎn)（頂點(diǎn)除外），
則可設(shè)直線A₁E的方程為y=k₁（x+2）；
聯(lián)立

y=k1(x+2) x2 4 +y2=1

得，
（4k²₁+1）x²+16k²₁x+16k²₁-4=0；
x_E-2=-

16 k 2 1

4k21+1

；x_E=-

8 k 2 1 -2

4 k 2 1 +1

；
y_E=k₁（-

8 k 2 1 -2

4 k 2 1 +1

+2）=

1

4 k 2 1 +1

4

k

1

；
故E（-

8 k 2 1 -2

4 k 2 1 +1

，

1

4 k 2 1 +1

4

k

1

）；
又直線A₂B₁的方程為y=-

1

2

x+1；
聯(lián)立

y=k1(x+2) y=- 1 2 x+1

解得G（

2-4k1

2k1+1

，

4k1

2k1+1

），
由B₁（0，1），E（-

8 k 2 1 -2

4 k 2 1 +1

，

1

4 k 2 1 +1

4

k

1

），P（x，0）共線得，
x=-

4k1+2

2k1-1

，故P（-

4k1+2

2k1-1

，0）；
所以PG的斜率k₂=

4k1 2k1+1 -0

2-4k1 2k1+1 + 4k1+2 2k1-1

=

2k1-1

4

；
則k₁-2k₂=k₁-2

2k1-1

4

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的性質(zhì)應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)能力，屬于難題．