13．某城市隨機(jī)抽取一年內(nèi)100 天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	＞300
空氣質(zhì)量	優(yōu)	良	輕度污染	中度污染	重度污染	重度污染
天數(shù)	6	14	18	27	20	15

（Ⅰ）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x 的關(guān)系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x≤100}\\{4x-400，100＜x≤3000}\\{2000，x＞300}\end{array}$，若在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，試估計(jì)這一天的經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)400元的概率；
（Ⅱ）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為嚴(yán)重污染．根據(jù)提供的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面的2×2 列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該城市本年的空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)”？

	非嚴(yán)重污染	嚴(yán)重污染	合計(jì)
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合計(jì)	85	15	100

附：參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

12．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB=2a，AE=CF=λAA₁（0＜λ＜1），
（1）試在BC上找一點(diǎn)P，使得A₁B∥面PEF；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)λ為何值時(shí)，四面體BPFE的體積最大？
（3）在（2）的條件下，求面PEF與底面ABC所成的銳二面角的正切值．

11．如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點(diǎn)E在C₁C上，且C₁E=3EC．
（1）證明A₁C⊥平面BED；
（2）求平面A₁DE與平面BDE的夾角余弦值．

10．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，且 PA⊥面ABCD，PA∥BE，PA=3BE．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）若直線PC與平面ABCD所成角為60°，求二面角E-PC-A的余弦值的大�。�

9．如圖，平面ABCD⊥平面ABE，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證AE⊥平面BCE；
（2）設(shè)$\frac{AE}{EB}=λ$，是否存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

8．為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位年人，結(jié)果如下：

性別 是否需要志愿者	男	女
需要	40	30
不需要	160	270

（Ⅰ）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99%的把握認(rèn)為該區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？
（Ⅲ）在需要提供服務(wù)的老年人中按分層抽樣抽取7人組成特別護(hù)理組，現(xiàn)從特別護(hù)理組中抽取2人參加某機(jī)構(gòu)組織的健康講座，求抽取的兩人恰是一男一女的概率．

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

7．如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，$AC=\sqrt{2}$．
（1）證明：DE⊥平面ACD；
（2）求二面角B-AD-C的正切值．

6．在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，SB=2$\sqrt{2}$．
（1）求三棱錐S-ABC的體積；
（2）證明：BC⊥SC；
（3）求二面角C-SA-B的大小．

5．已知過(guò)橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的下焦點(diǎn)F的直線l的方程為y=-$\sqrt{2}$．
（1）若直線l是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線，求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l和橢圓相交所得弦長(zhǎng)為2，求橢圓方程．

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)$（\sqrt{2}，1）$，直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，MN中點(diǎn)為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP斜率為$-\frac{1}{2k}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C的右頂點(diǎn)為A，當(dāng)△AMN得面積為$\frac{\sqrt{10}}{3}$時(shí)，求k的值．