3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且$\frac{a}cosC=（{3-\frac{c}{a}}）cosB$．
（1）求sinB的值；
（2）若D為AC的中點(diǎn)，且BD=1，求△ABD面積的最大值．

2．在極坐標(biāo)系中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{24}{4cosθ+3sinθ}$，以極點(diǎn)為原點(diǎn)O，極軸為x軸正半軸（兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度）的直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程與曲線C₂的普通方程；
（2）若用（$\frac{x}{2\sqrt{2}}，\frac{y}{2}$）代換曲線C₂的普通方程中的（x，y）得到曲線C₃的方程，若M，N分別是曲線C₁和曲線C₃上的動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值．

1．拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線與A，B兩點(diǎn)，且$|{AF}|=\frac{4}{3}$，則|BF|=4．

20．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出i的值是4時(shí)，輸入的整數(shù)n的最大值是23．

19．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{2x+y≥0}\\{3x-y-a≤0}\end{array}}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最小值為$-\frac{2}{5}$，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）

A．

2

B．

-2

C．

3

D．

-3

18．復(fù)數(shù)z=$\frac{2-i}{1+i}$（其中i是虛數(shù)單位）的虛部為（　�。�

A．

$-\frac{3}{2}i$

B．

$\frac{1}{2}i$

C．

$-\frac{3}{2}$

D．

$\frac{1}{2}$

17．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（a-2）x，x≥1\\{（\frac{1}{2}）^x}-1，x＜1\end{array}$是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤$\frac{3}{2}$．

16．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1$（a＞2）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)E（0，1），且與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓方程．
（2）若直線l與x軸相交于點(diǎn)G，且$\overline{GC}=\overline{DE}$，求k的值．
（3）求△COD的面積的最大值．

15．設(shè)f（x）=xe^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=（x+1）²．
（Ⅰ）記$F（x）=\frac{f（x）}{g（x）}$，討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函數(shù)G（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

14．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F₁、F₂、B，定義：△F₁BF₂為橢圓C的“特征三角形”，如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，那么稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點(diǎn)$F（{\sqrt{3}，0}）$是橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一個(gè)焦點(diǎn)，且C₁上任意一點(diǎn)到它的兩焦點(diǎn)的距離之和為4．
（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且C₂與C₁的相似比為2：1，求橢圓C₂的方程；
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線${x^2}=\frac{1}{mn}y$異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)Q一定在雙曲線4x²-4y²=1上；
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，（設(shè)其面積為S），使得A、C在直線l上，B、D在曲線C_b上？若存在，求出函數(shù)S=f（b）的解析式及定義域；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．