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【題目】已知橢圓和直線: ,橢圓的離心率,坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知定點(diǎn),若直線過點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn),試判斷是否存在直線,使以為直徑的圓過點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)若函數(shù)在上為減函數(shù),求的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)(, 為自然對數(shù)的底數(shù)),,對于任意的,恒有成立,求的范圍.
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【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,過、、三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線(為常數(shù), )與橢圓交于不同的兩點(diǎn)和.
(ⅰ)當(dāng)直線過,且時(shí),求直線的方程;
(ⅱ)當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,且面積為時(shí),求直線的傾斜角.
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【題目】設(shè)函數(shù)
(1) 判斷并證明f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)x>-1時(shí), ;
(3)設(shè)當(dāng)x≥0時(shí), ,求a的取值范圍.
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【題目】已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求a;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
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【題目】已知函數(shù), 為其導(dǎo)函數(shù).
(1) 設(shè),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2) 若, 設(shè), 為函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn),且滿足,設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 證明: .
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【題目】某中學(xué)數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同教學(xué)方式對入學(xué)數(shù)學(xué)平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個(gè)高一新班(人數(shù)均為20人)進(jìn)行教學(xué)(兩班的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)勤奮程度和自覺性一致),數(shù)學(xué)期終考試成績莖葉圖如下:
(1)學(xué)校規(guī)定:成績不低于75分的為優(yōu)秀,請?zhí)顚懴旅娴?/span>聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.
附:參考公式及數(shù)據(jù)
(2)從兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績不低于90分的同學(xué)中隨機(jī)抽取3名,設(shè)為抽取成績不低于95分同學(xué)人數(shù),求的分布列和期望.
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【題目】已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足, .
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明: ;
(2)證明: ;
(3)記為數(shù)列的前項(xiàng)和,證明: .
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【題目】一根水平放置的長方體形枕木的安全負(fù)荷與它的寬度成正比,與它的厚度的平方成正比,與它的長度的平方成反比.
(Ⅰ)將此枕木翻轉(zhuǎn)90°(即寬度變?yōu)楹穸龋砟镜陌踩?fù)荷會(huì)如何變化?為什么?(設(shè)翻轉(zhuǎn)前后枕木的安全負(fù)荷分別為且翻轉(zhuǎn)前后的比例系數(shù)相同都為)
(Ⅱ)現(xiàn)有一根橫斷面為半圓(已知半圓的半徑為)的木材,用它來截取成長方體形的枕木,其長度為10,問截取枕木的厚度為多少時(shí),可使安全負(fù)荷最大?
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