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【題目】2018湖北七市(州)教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考已知橢圓 的左頂點為,上頂點為,直線與直線垂直,垂足為點,且點是線段的中點.

I)求橢圓的方程;

II)如圖,若直線 與橢圓交于, 兩點,點在橢圓上,且四邊形為平行四邊形,求證:四邊形的面積為定值.

【答案】I;(II

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意可得, 故斜率為,由直線與直線垂直,可得,因為點是線段的中點,∴點的坐標(biāo)是

代入直線得,連立方程即可得, ;(2)∵四邊形為平行四邊形,∴,設(shè), , ,∴ ,得,將點坐標(biāo)代入橢圓方程得,

到直線的距離為,利用弦長公式得EF,則平行四邊形的面積為

.

解析:(1)由題意知,橢圓的左頂點,上頂點,直線的斜率,

,

因為點是線段的中點,∴點的坐標(biāo)是,

由點在直線上,∴,且,

解得, ,

∴橢圓的方程為.

(2)設(shè) , ,

代入消去并整理得 ,

, ,

,

∵四邊形為平行四邊形,∴ ,

,將點坐標(biāo)代入橢圓方程得

到直線的距離為,

∴平行四邊形的面積為

.

故平行四邊形的面積為定值.

型】解答
結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù), .

(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時,求證:函數(shù)有兩個不相等的零點, ,且.

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【題目】已知函數(shù), .

(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時,求證:函數(shù)有兩個不相等的零點, ,且.

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】試題分析:(1)討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間即解導(dǎo)數(shù)大于零求得增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于零求得減區(qū)間(2)函數(shù)有兩個不同的零點,先分析函數(shù)單調(diào)性得零點所在的區(qū)間, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∵, , ,∴函數(shù)有兩個不同的零點,且一個在內(nèi),另一個在內(nèi).

不妨設(shè), ,要證,即證 上是增函數(shù),故,且,即證. 由,得 ,

, ,得上單調(diào)遞減,∴,且∴ ,∴,即∴,故得證

解析:(1)當(dāng)時, ,得,

,得.

當(dāng)時, ,所以,故上單調(diào)遞減;

當(dāng)時, , ,所以,故上單調(diào)遞增;

當(dāng)時, ,所以,故上單調(diào)遞減;

所以, 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

(2)證明:由題意得,其中,

,由,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

, , ,

∴函數(shù)有兩個不同的零點,且一個在內(nèi),另一個在內(nèi).

不妨設(shè), ,

要證,即證

因為,且上是增函數(shù),

所以,且,即證.

,得 ,

, ,

.

,∴,

時, ,即上單調(diào)遞減,

,且∴, ,

,即∴,故得證.

型】解答
結(jié)束】
22

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求曲線和直線的普通方程;

(2)設(shè)為曲線上任意一點,求點到直線的距離的最值.

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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求曲線和直線的普通方程;

(2)設(shè)為曲線上任意一點,求點到直線的距離的最值.

【答案】(1), ;(2)最大值為,最小值為

【解析】試題分析:(1)根據(jù)參數(shù)方程和極坐標(biāo)化普通方程化法即易得結(jié)論的普通方程為;直線的普通方程為.(2)求點到線距離問題可借助參數(shù)方程,利用三角函數(shù)最值法求解即可故設(shè) .即可得出最值

解析:(1)根據(jù)題意,由,得,

,得

的普通方程為;

, ,

故直線的普通方程為.

(2)由于為曲線上任意一點,設(shè)

由點到直線的距離公式得,點到直線的距離為

.

,即

故點到直線的距離的最大值為,最小值為.

點睛:首先要熟悉參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化普通方程的方法,第一問基本屬于送分題所以務(wù)必抓住,對于第二問可以總結(jié)為一類題型,借助參數(shù)方程設(shè)點的方便轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題求解

型】解答
結(jié)束】
23

【題目】已知函數(shù).

(1)解關(guān)于的不等式;

(2)若函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方,求的取值范圍.

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【題目】已知 滿足約束條件,若取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)的值為__________

【答案】

【解析】由題可知若取得最大值的最優(yōu)解不唯一則必平行于可行域的某一邊界,如圖:要Z最大則直線與y軸的截距最大即可,當(dāng)a<0時,則平行AC直線即可故a=-2,當(dāng)a>0時,則直線平行AB即可,故a=1

點睛:線性規(guī)劃為?碱}型,解決此題務(wù)必要理解最優(yōu)解個數(shù)為無數(shù)個時的條件是什么,然后根據(jù)幾何關(guān)系求解即可

型】填空
結(jié)束】
16

【題目】《數(shù)書九章》三斜求積術(shù):“以小斜冪,并大斜冪,減中斜冪,余半之,自乘于上;以小斜冪乘大斜冪,減上,余四約一,為實,一為從隅,開平方得積”.秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜,“術(shù)”即方法.以, , , 分別表示三角形的面積,大斜,中斜,小斜; , , 分別為對應(yīng)的大斜,中斜,小斜上的高;則 .若在, , ,根據(jù)上述公式,可以推出該三角形外接圓的半徑為__________

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【題目】已知圓 與拋物線 相交于, 兩點,分別以點, 為切點作圓的切線.若切線恰好都經(jīng)過拋物線的焦點,則( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由題得設(shè)A, ,聯(lián)立圓E和拋物線得: ,代入點A,AF為圓的切線,故,由拋物線得定義可知:AF=,故化簡得: ,將點A代入圓得: ,而=,故故選A

點睛:此題幾何關(guān)系較為復(fù)雜,我們根據(jù)問題可知借此題關(guān)鍵為找到pr的關(guān)系,我們可根據(jù)圓和拋物線相交結(jié)合拋物線的焦點弦長結(jié)論綜合計算可得其關(guān)系,從而求解

型】單選題
結(jié)束】
12

【題目】已知函數(shù)在點 處的切線為,若直線軸上的截距恒小于,則實數(shù)的取值范圍是( )

A. B. C. D.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,且直線與曲線交于兩點.

(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)把直線軸的交點記為,求的值.

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【題目】已知函數(shù),函數(shù).

(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若時,對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最小值.

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【題目】已知橢圓的右頂點為,上頂點為,離心率, 為坐標(biāo)原點,圓與直線相切.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)已知四邊形內(nèi)接于橢圓.記直線的斜率分別為,試問是否為定值?證明你的結(jié)論.

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【題目】為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價矛盾,保障電力供應(yīng),支持可再生能源發(fā)展,促進節(jié)能減排,安徽省于2012年推出了省內(nèi)居民階梯電價的計算標(biāo)準(zhǔn):以一個年度為計費周期、月度滾動使用,第一階梯電量:年用電量2160度以下(含2160度),執(zhí)行第一檔電價0.5653元/度;第二階梯電量:年用電量2161至4200度(含4200度),執(zhí)行第二檔電價0.6153元/度;第三階梯電量:年用電量4200度以上,執(zhí)行第三檔電價0.8653元/度.

某市的電力部門從本市的用電戶中隨機抽取10戶,統(tǒng)計其同一年度的用電情況,列表如下表:

用戶編號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

年用電量(度)

1000

1260

1400

1824

2180

2423

2815

3325

4411

4600

(Ⅰ)試計算表中編號為10的用電戶本年度應(yīng)交電費多少元?

(Ⅱ)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取4戶,對其用電情況作進一步分析,求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望;

(Ⅲ)以表中抽到的10戶作為樣本估計全市的居民用電情況,現(xiàn)從全市居民用電戶中隨機地抽取10戶,若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大,求的值.

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【題目】如圖所示,四棱錐中,底面為菱形, , , 為棱的中點,且.

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)當(dāng)直線與底面角時,求二面角的余弦值.

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