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【題目】已知分別是雙曲線的左、右焦點,過點作垂直與軸的直線交雙曲線于,兩點,若為銳角三角形,則雙曲線的離心率的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】
根據(jù)雙曲線的通徑求得點的坐標,將三角形為銳角三角形,轉化為,即,將表達式轉化為含有離心率的不等式,解不等式求得離心率的取值范圍.
根據(jù)雙曲線的通徑可知,由于三角形為銳角三角形,結合雙曲線的對稱性可知,故,即,即,解得,故離心率的取值范圍是.
【點睛】
本小題主要考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法,考查雙曲線的通徑,考查雙曲線的對稱性,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.本小題的主要突破口在將三角形為銳角三角形,轉化為,利用列不等式,再將不等式轉化為只含離心率的表達式,解不等式求得雙曲線離心率的取值范圍.
【題型】填空題
【結束】
17
【題目】已知命題:方程有兩個不相等的實數(shù)根;命題:不等式的解集為.若或為真,為假,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設是雙曲線:的右焦點,是左支上的點,已知,則周長的最小值是_______.
【答案】
【解析】
設左焦點為,利用雙曲線的定義,得到當三點共線時,三角形的周長取得最小值,并求得最小的周長.
設左焦點為,根據(jù)雙曲線的定義可知,所以三角形的周長為,當三點共線時,取得最小值,三角形的周長取得最小值. ,故三角形周長的最小值為.
【點睛】
本小題主要考查雙曲線的定義,考查三角形周長最小值的求法,屬于中檔題.
【題型】填空題
【結束】
16
【題目】已知分別是雙曲線的左、右焦點,過點作垂直與軸的直線交雙曲線于,兩點,若為銳角三角形,則雙曲線的離心率的取值范圍是_______.
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【題目】已知是橢圓上一動點,為坐標原點,則線段中點的軌跡方程為_______.
【答案】
【解析】
設出點的坐標,由此得到點的坐標,將點坐標代入橢圓方程,化簡后可得點的軌跡方程.
設,由于是中點,故,代入橢圓方程得,化簡得.即點的軌跡方程為.
【點睛】
本小題主要考查代入法求動點的軌跡方程,考查中點坐標,屬于基礎題.
【題型】填空題
【結束】
15
【題目】設是雙曲線:的右焦點,是左支上的點,已知,則周長的最小值是_______.
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【題目】“劍橋學派”創(chuàng)始人之一數(shù)學家哈代說過:“數(shù)學家的造型,同畫家和詩人一樣,也應當是美麗的”;古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯創(chuàng)造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來美;我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)造了優(yōu)美“弦圖”.“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形,如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為,則等于( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
(1)若,求曲線在點處的切線方程;
(2)若,求證:有且僅有兩個零點;
(3)若為整數(shù),且當時,恒成立,求的最大值.
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【題目】如圖,等腰梯形中, , 于點, ,且.沿把折起到的位置,使.
()求證: 平面.
()求三棱柱的體積.
()線段上是否存在點,使得平面.若存在,指出點的位置并證明;若不存在,請說明理由.
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【題目】若實數(shù),滿足,則的最小值是( )
A. 0 B. C. -6 D. -3
【答案】C
【解析】
畫出可行域,向上平移目標函數(shù)到可行域邊界的位置,由此求得目標函數(shù)的最小值.
畫出可行域如下圖所示,由圖可知,目標函數(shù)在點處取得最小值為.故選C.
【點睛】
本小題主要考查線性規(guī)劃的知識,考查線性目標函數(shù)的最值的求法,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法,屬于基礎題.畫可行域時,要注意判斷不等式所表示的范圍是在直線的哪個方位,不一定是三條直線圍成的三角形.還要注意目標函數(shù)化成斜截式后,截距和目標函數(shù)的對應關系,截距最大時,目標函數(shù)不一定取得最大值,可能取得最小值.
【題型】單選題
【結束】
12
【題目】已知,是橢圓長軸上的兩個端點,,是橢圓上關于軸對稱的兩點,直線,的斜率分別為,若橢圓的離心率為,則的最小值為( )
A. 1 B. C. D. 2
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【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.
(Ⅰ)證明:平面A1BD∥平面CD1B1;
(Ⅱ)求三棱柱ABD﹣A1B1D1的體積.
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