【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).

1求曲線在點處的切線方程;

2,求證:有且僅有兩個零點;

3為整數(shù),且當(dāng),恒成立的最大值.

【答案】1x-y=0;2詳見解析;34;

【解析】

試題分析:1求出f 1,即切線的斜率可由點斜式得直線方程;2用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性再由零點存在性定理說明零點的個數(shù);3不等式恒成立問題一般可以先參數(shù)分離再求函數(shù)的最值,這樣可以避免討論求最值本題在求最值時需要二次求導(dǎo)和估值來確定函數(shù)的最值;

試題解析:1當(dāng)k=0時,fx=1+lnx.

因為f x,從而f 1=1.

又f1=1,

所以曲線y=fx在點1,f1))處的切線方程y-1=x-1,

即x-y=0.

2當(dāng)k=5時,fx=lnx+-4.

因為f x,從而

當(dāng)x0,10),f x<0,fx單調(diào)遞減;當(dāng)x10,+∞,f x>0,fx單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=10時,fx有極小值.

因f10=ln10-3<0,f1=6>0,所以fx1,10之間有一個零點.

因為fe4=4+-4>0,所以fx10e4之間有一個零點.

從而fx有兩個不同的零點.

3方法一:由題意知,1+lnx->0對x2,+∞恒成立,

即k<對x2,+∞恒成立.

令hx,則hx

設(shè)vx=x-2lnx-4,則vx

當(dāng)x2+∞,vx>0所以vx2,+∞為增函數(shù).

因為v8=8-2ln8-4=4-2ln8<0v9=5-2ln9>0,

所以存在x08,9),vx0=0,即x0-2lnx0-4=0.

當(dāng)x2,x0,hx<0hx單調(diào)遞減,當(dāng)xx0+∞,hxhx單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=x0,hx的最小值hx0

因為lnx0,所以hx04,4.5

故所求的整數(shù)k的最大值為4.

方法二:由題意知,1+lnx->0對x2,+∞恒成立.

fx=1+lnx-f x

當(dāng)2k≤2,即k≤1時,fx>0對x2+∞恒成立

所以fx2,+∞上單調(diào)遞增.

而f2=1+ln2>0成立所以滿足要求.

當(dāng)2k>2,即k>1時,

當(dāng)x2,2kf x<0, fx單調(diào)遞減,當(dāng)x2k+∞),f x>0fx單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=2k時fx有最小值f2k=2+ln2k-k.

從而fx>0在x2,+∞恒成立等價于2+ln2k-k>0.

令gk=2+ln2k-k,則gk<0從而gk1,+∞為減函數(shù).

因為g4=ln8-2>0,g5=ln10-3<0 ,

所以使2+ln2k-k<0成立的最大正整數(shù)k=4.

綜合①②知所求的整數(shù)k的最大值為4.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(-x)=2-f(x),若函數(shù)yyf(x)圖象的交點為(x1,y1),(x2,y2),…,(xmym),則 (xiyi)=(  )

A. 0 B. m

C. 2m D. 4m

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.設(shè)H1(x)=max,H2(x)=min (max表示p,q中的較大值,min表示p,q中的較小值).記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=(  )

A.16B.-16

C.a2-2a-16D.a2+2a-16

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點,圓。

(1)若點在圓內(nèi),求的取值范圍;

(2)若過點的圓的切線只有一條,求切線的方程;

(3)當(dāng)時,過點的直線被圓截得的弦長為,求直線的方程。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的前項和為,,且,數(shù)列滿足,,對任意,都有.

1)求數(shù)列,的通項公式;

2)令若對任意的,不等式恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知分別是雙曲線的左、右焦點,過點作垂直與軸的直線交雙曲線于,兩點,若為銳角三角形,則雙曲線的離心率的取值范圍是_______

【答案】

【解析】

根據(jù)雙曲線的通徑求得點的坐標,將三角形為銳角三角形,轉(zhuǎn)化為,即,將表達式轉(zhuǎn)化為含有離心率的不等式,解不等式求得離心率的取值范圍.

根據(jù)雙曲線的通徑可知,由于三角形為銳角三角形,結(jié)合雙曲線的對稱性可知,故,即,即,解得,故離心率的取值范圍是.

【點睛】

本小題主要考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法,考查雙曲線的通徑,考查雙曲線的對稱性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.本小題的主要突破口在將三角形為銳角三角形,轉(zhuǎn)化為,利用列不等式,再將不等式轉(zhuǎn)化為只含離心率的表達式,解不等式求得雙曲線離心率的取值范圍.

型】填空
結(jié)束】
17

【題目】已知命題:方程有兩個不相等的實數(shù)根;命題:不等式的解集為.若為真,為假,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某保險公司針對企業(yè)職工推出一款意外險產(chǎn)品,每年每人只要交少量保費,發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元.保險公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的每賠付頻率如下表(并以此估計賠付概率).

(Ⅰ)根據(jù)規(guī)定,該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%,試分別確定各類工種每張保單保費的上限;

(Ⅱ)某企業(yè)共有職工20000人,從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖,老板準備為全體職工每人購買一份此種保險,并以(Ⅰ)中計算的各類保險上限購買,試估計保險公司在這宗交易中的期望利潤.

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【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以直角坐標系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.

(Ⅰ)求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;

(Ⅱ)若直線與曲線相交于, 兩點,求的面積.

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【題目】已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x|(xa)·(x-8)≤0}.

(1)求MP={x|5<x≤8}的充要條件;

(2)求實數(shù)a的一個值,使它成為MP={x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件.

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