【題目】如果存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足：若是數(shù)列中的一項，則也是數(shù)列 中的一項，稱數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”.

（1）若數(shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求和的值；

（2）已知有窮等差數(shù)列的項數(shù)是，所有項之和是，求證：數(shù)列是“兌換數(shù)列”，并用和表示它的“兌換系數(shù)”；

（3）對于一個不小于3項，且各項皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列，是否有可能它既是等比數(shù)列，又是“兌換數(shù)列”？給出你的結(jié)論，并說明理由.

【題目】如圖，平面，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.

【題目】已知點、為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且，圓的方程是.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；

（3）過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點，中點為，求證：

【題目】如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（ ）

A. 56 B. 72 C. 64 D. 84

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，AB=BC=1,PA=AD=2,點F為AD的中點，.

（1）求證：平面；

（2）求點B到平面PCD的距離.

【題目】已知函數(shù)，函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.

【題目】已知直線l的方程為y＝x－2，又直線l過橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點，且橢圓的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點D（0，1）的直線與橢圓C交于點A，B，求△AOB的面積的最大值．

【題目】某廠家擬在新年舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為萬元時，銷售量萬件滿足（其中，為正常數(shù)）.現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件.

（1）將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù)；

（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大.

【題目】已知三棱柱中，，側(cè)面底面，是的中點，，.

（Ⅰ）求證：為直角三角形；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【題目】某地擬建造一座體育館，其設(shè)計方案側(cè)面的外輪廓線如圖所示：曲線是以點為圓心的圓的一部分，其中，是圓的切線，且，曲線是拋物線的一部分，，且恰好等于圓的半徑.

（1）若米，米，求與的值；

（2）若體育館側(cè)面的最大寬度不超過75米，求的取值范圍.