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【題目】某校抽取了100名學生期中考試的英語和數(shù)學成績,已知成績都不低于100分,其中英語成績的頻率分布直方圖如圖所示,成績分組區(qū)間是,,,,.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這100名學生英語成績的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表);
(2)若這100名學生數(shù)學成績分數(shù)段的人數(shù)y的情況如下表所示:
分組區(qū)間 | |||||
y | 15 | 40 | 40 | m | n |
且區(qū)間內英語人數(shù)與數(shù)學人數(shù)之比為,現(xiàn)從數(shù)學成績在的學生中隨機選取2人,求選出的2人中恰好有1人數(shù)學成績在的概率.
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【題目】已知函數(shù),,如果對于定義域內的任意實數(shù),對于給定的非零常數(shù),總存在非零常數(shù),恒有成立,則稱函數(shù)是上的級類增周期函數(shù),周期為,若恒有成立,則稱函數(shù)是上的級類周期函數(shù),周期為.
(1)已知函數(shù)是上的周期為1的2級類增周期函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)已知,是上級類周期函數(shù),且是上的單調遞增函數(shù),當時,,求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù),使函數(shù)是上的周期為的級類周期函數(shù),若存在,求出實數(shù)和的值,若不存在,說明理由.
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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為,離心率為;圓過橢圓的三個頂點.過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)證明:在軸上存在定點,使得為定值;并求出該定點的坐標.
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【題目】已知點、為雙曲線的左、右焦點,過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點,且,圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為、,求的值;
(3)過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點,中點為,求證:
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【題目】若存在常數(shù),使得無窮數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為“Γ數(shù)列.已知數(shù)列為“Γ數(shù)列”.
(1)若數(shù)列中,,試求的值;
(2)若數(shù)列中,,記數(shù)列的前n項和為,若不等式對恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍;
(3)若為等比數(shù)列,且首項為b,試寫出所有滿足條件的,并說明理由.
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【題目】設命題p:函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+16a)的定義域為R;命題q:不等式3x-9x<a對任意x∈R恒成立.
(1)如果p是真命題,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)如果命題“p或q”為真命題且“p且q”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某大型工廠有臺大型機器,在個月中,臺機器至多出現(xiàn)次故障,且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的,出現(xiàn)故障時需名工人進行維修.每臺機器出現(xiàn)故障的概率為.已知名工人每月只有維修臺機器的能力,每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人維修,就能使該廠獲得萬元的利潤,否則將虧損萬元.該工廠每月需支付給每名維修工人萬元的工資.
(1)若每臺機器在當月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人進行維修,則稱工廠能正常運行.若該廠只有名維修工人,求工廠每月能正常運行的概率;
(2)已知該廠現(xiàn)有名維修工人.
(。┯浽搹S每月獲利為萬元,求的分布列與數(shù)學期望;
(ⅱ)以工廠每月獲利的數(shù)學期望為決策依據(jù),試問該廠是否應再招聘名維修工人?
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【題目】(1)已知雙曲線的中心在原點,焦點在x軸上,實軸長為4,漸近線方程為.求雙曲線的標準方程;
(2)過(1)中雙曲線上一點P的直線分別交兩條漸近于兩點,且P是線段AB的中點,求證:為常數(shù);
(3)我們知道函數(shù)的圖象是由雙曲線的圖象逆時針旋轉45°得到的,函數(shù)的圖象也是雙曲線,請嘗試寫出曲線的性質(不必證明).
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【題目】已知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列,數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.
(1)若數(shù)列的前項和為,且,,求整數(shù)的值;
(2)若,,,試問數(shù)列中是否存在一項,使得恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)項的和?請說明理由;
(3)若,,(其中,且是的約數(shù)),求證:數(shù)列中每一項都是數(shù)列中的項.
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