【題目】已知點(diǎn)、為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點(diǎn),且,圓的方程是.

1)求雙曲線的方程;

2)過雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為、,求的值;

3)過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線、兩點(diǎn),中點(diǎn)為,求證:

【答案】1;(2;(3)詳見解析.

【解析】

(1),根據(jù)可得,利用雙曲線的定義可得從而得到雙曲線的方程.

(2)設(shè)點(diǎn),利用漸近線的斜率可以得到夾角的余弦為,利用點(diǎn)在雙曲線上又可得為定值,故可得的值.

(3)設(shè),切線的方程為:,證明等價于證明,也就是證明 ,聯(lián)立切線方程和雙曲線方程,消元后利用韋達(dá)定理可以證明.

(1)設(shè)的坐標(biāo)分別為,

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以,即,所以,

中, ,,所以,

由雙曲線的定義可知: ,

故雙曲線的方程為: .

(2)由條件可知:兩條漸近線分別為;.

設(shè)雙曲線上的點(diǎn),

設(shè)的傾斜角為,則,又 ,所以

,

所以的夾角為,且.

點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為.

因?yàn)?/span>在雙曲線上,所以 ,

所以.

(3)由題意,即證: ,設(shè),

切線的方程為: .

時,切線的方程代入雙曲線中,化簡得:

(,

所以,.

,

所以.

時,易知上述結(jié)論也成立.所以.

綜上, ,所以.

練習(xí)冊系列答案
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請你幫老張確定a,,的值,并寫出ABC段的函數(shù)解析式;

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