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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);
(Ⅲ)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),記作,且,證明(為自然對數(shù)的底數(shù)).
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【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,且橢圓的短軸長為2,分別為橢圓的左,右焦點(diǎn),分別為橢圓的左,右頂點(diǎn),設(shè)點(diǎn)在第一象限,且軸,連接交橢圓于點(diǎn),直線的斜率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若三角形的面積等于四邊形的面積,求的值;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn),射線(為原點(diǎn))與橢圓交于點(diǎn),滿足,求的值.
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【題目】如圖,平面,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)若為線段上的點(diǎn),且直線與平面所成的角為,求線段的長.
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【題目】某高中志愿者男志愿者5人,女志愿者3人,這些人要參加社區(qū)服務(wù)工作.從這些人中隨機(jī)抽取4人負(fù)責(zé)文明宣傳工作,另外4人負(fù)責(zé)衛(wèi)生服務(wù)工作.
(Ⅰ)設(shè)為事件;“負(fù)責(zé)文明宣傳工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”,求事件發(fā)生的概率;
(Ⅱ)設(shè)表示參加文明宣傳工作的女志愿者人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是軌跡上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)直線與軌跡的另一交點(diǎn)分別為且直線的斜率之積等于,問四邊形的面積是否為定值?請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形是矩形,沿對角線將折起,使得點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好落在邊上.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.
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【題目】由團(tuán)中央學(xué)校部、全國學(xué)聯(lián)秘書處、中國青年報(bào)社共同舉辦的2018年度全國“最美中學(xué)生“尋訪活動(dòng)結(jié)果出爐啦,此項(xiàng)活動(dòng)于2018年6月啟動(dòng),面向全國中學(xué)在校學(xué)生,通過投票方式尋訪一批在熱愛祖國、勤奮學(xué)習(xí)、熱心助人、見義勇為等方面表現(xiàn)突出、自覺樹立和踐行社會主義核心價(jià)值觀的“最美中學(xué)生”.現(xiàn)隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的票數(shù),線成如圖所示的莖葉圖,若規(guī)定票數(shù)在65票以上(包括65票)定義為風(fēng)華組.票數(shù)在65票以下(不包括65票)的學(xué)生定義為青春組.
(Ⅰ)在這30名學(xué)生中,青春組學(xué)生中有男生7人,風(fēng)華組學(xué)生中有女生12人,試問有沒有的把握認(rèn)為票數(shù)分在青春組或風(fēng)華組與性別有關(guān);
(Ⅱ)如果用分層抽樣的方法從青春組和風(fēng)華組中抽取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取2人,那么至少有1人在青春組的概率是多少?
(Ⅲ)用樣本估計(jì)總體,把頻率作為概率,若從該地區(qū)所有的中學(xué)(人數(shù)很多)中隨機(jī)選取4人,用表示所選4人中青春組的人數(shù),試寫出的分布列,并求出的數(shù)學(xué)期望.
附:;其中
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表:
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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【題目】設(shè)函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn),使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),且斜邊的中點(diǎn)恰好在軸上,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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【題目】為了研究國民收入在國民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示:勞倫茨曲線為直線時(shí),表示收入完全平等,勞倫茨曲線為折線時(shí),表示收入完全不平等記區(qū)域為不平等區(qū)域,表示其面積,為的面積.將,稱為基尼系數(shù).對于下列說法:
①越小,則國民分配越公平;
②設(shè)勞倫茨曲線對應(yīng)的函數(shù)為,則對,均有;
③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則;
④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則.
其中不正確的是:( )
A.①④B.②③C.①③④D.①②④
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【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)與交于、兩點(diǎn),中點(diǎn)為,的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.
(1)求的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)求證:.
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