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【題目】已知點(diǎn),直線:,點(diǎn)為上一動點(diǎn),過作直線,為的中垂線,與交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線Γ.
(1)求曲線Γ的方程;
(2)若過的直線與Γ交于兩點(diǎn),線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),求與的比值.
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【題目】如圖,三棱柱的底面是等邊三角形,在底面ABC上的射影為△ABC的重心G.
(1)已知,證明:平面平面;
(2)已知平面與平面ABC所成的二面角為60°,G到直線AB的距離為a,求銳二面角的余弦值.
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【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品,根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn),其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(g)與尺寸x(mm)之間近似滿足關(guān)系式c為大于0的常數(shù)).按照某項(xiàng)指標(biāo)測定,當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品,測得數(shù)據(jù)如下:
尺寸 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
質(zhì)量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
質(zhì)量與尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.357 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
(1)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件,記ξ為取到優(yōu)等品的件數(shù),試求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望;
(2)根據(jù)測得數(shù)據(jù)作了初步處理,得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量,求y關(guān)于x的回歸方程.
附:對于樣本,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:.
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【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知圓和圓的極坐標(biāo)方程分別是和.
(1)求圓和圓的公共弦所在直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若射線:與圓的交點(diǎn)為O、P,與圓的交點(diǎn)為O、Q,求的最大值.
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【題目】已知點(diǎn),直線:,點(diǎn)為上一動點(diǎn),過作直線,為的中垂線,與交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線Γ.
(1)求曲線Γ的方程;
(2)若過的直線與Γ交于兩點(diǎn),線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),求與的比值.
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【題目】如圖,三棱柱的底面是等邊三角形,在底面ABC上的射影為的重心G.
(1)已知,證明:平面平面;
(2)若三棱柱的側(cè)棱與底面所成角的正切值為,,求點(diǎn)到平面的距離.
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【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品,根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn),其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式(b,c為大于0的常數(shù)).按照某項(xiàng)指標(biāo)測定,當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品,測得數(shù)據(jù)如下:
尺寸x(mm) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
質(zhì)量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
質(zhì)量與尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.357 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
(1)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選2件,求選中的2件均為優(yōu)等品的概率;
(2)根據(jù)測得數(shù)據(jù)作了初步處理,得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量,求y關(guān)于x的回歸方程.
附:對于樣本,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,,.
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【題目】已知函數(shù).
(1)證明:當(dāng)時,函數(shù)有唯一的極值點(diǎn);
(2)設(shè)為正整數(shù),若不等式在內(nèi)恒成立,求的最大值.
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【題目】2020年春節(jié)期間,武漢市爆發(fā)了新型冠狀病毒肺炎疫情,在黨中央的堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下,全國人民團(tuán)結(jié)一心,眾志成城,共同抗擊疫情.某中學(xué)寒假開學(xué)后,為了普及傳染病知識,增強(qiáng)學(xué)生的防范意識,提高自身保護(hù)能力,校委會在全校學(xué)生范圍內(nèi),組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關(guān)知識有獎競賽(滿分100分),競賽獎勵規(guī)則如下,得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎,得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎,得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎,其他學(xué)生不得獎.教務(wù)處為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競賽成績,并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖.
(1)現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競賽成績,求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率;
(2)若該校所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布,其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值,利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題:
(i)若該校共有10000名學(xué)生參加了競賽,試估計(jì)參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));
(ii)若從所有參賽學(xué)生中(參賽學(xué)生數(shù)大于10000)隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行座談,設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和均值.
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.
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【題目】已知橢圓的長軸長為4,右焦點(diǎn)為,且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值與最大值的積為1,圓與軸交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)動直線與橢圓交于兩點(diǎn),且直線與圓相切,求的面積與的面積乘積的取值范圍.
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