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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值為M,正實數(shù)a,b滿足a+b=M.
(1)求2a2+b2的最小值;
(2)求證:aabb≥ab.
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為.
(1)寫出曲線C1和C2的直角坐標方程;
(2)已知P為曲線C2上的動點,過點P作曲線C1的切線,切點為A,求|PA|的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣sinx+ax(a>0).
(1)若a=1,求證:當x∈(1,)時,f(x)<2x﹣1;
(2)若f(x)在(0,2π)上有且僅有1個極值點,求a的取值范圍.
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【題目】當今世界科技迅猛發(fā)展,信息日新月異.為增強全民科技意識,提高公眾科學素養(yǎng),某市圖書館開展了以“親近科技、暢想未來”為主題的系列活動,并對不同年齡借閱者對科技類圖書的情況進行了調(diào)查.該圖書館從只借閱了一本圖書的借閱者中隨機抽取100名,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表:
借閱科技類圖書(人) | 借閱非科技類圖書(人) | |
年齡不超過50歲 | 20 | 25 |
年齡大于50歲 | 10 | 45 |
(1)是否有99%的把握認為年齡與借閱科技類圖書有關?
(2)該圖書館為了鼓勵市民借閱科技類圖書,規(guī)定市民每借閱一本科技類圖書獎勵積分2分,每借閱一本非科技類圖書獎勵積分1分,積分累計一定數(shù)量可以用積分換購自己喜愛的圖書.用表中的樣本頻率作為概率的估計值.
(i)現(xiàn)有3名借閱者每人借閱一本圖書,記此3人增加的積分總和為隨機變量ξ,求ξ的分布列和數(shù)學期望;
(ii)現(xiàn)從只借閱一本圖書的借閱者中選取16人,則借閱科技類圖書最有可能的人數(shù)是多少?
附:K2,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】已知點A,B的坐標分別是(,0),(,0),動點M(x,y)滿足直線AM和BM的斜率之積為﹣3,記M的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)直線y=kx+m與曲線E相交于P,Q兩點,若曲線E上存在點R,使得四邊形OPRQ為平行四邊形(其中O為坐標原點),求m的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,.
(1)求證:B1C⊥AB;
(2)若∠CBB1=60°,AC=BC,且點A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點O,求二面角B﹣AA1﹣C的余弦值.
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【題目】若關于x的不等式e2x﹣alnxa恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[0,2e]B.(﹣∞,2e]C.[0,2e2]D.(﹣∞,2e2]
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【題目】過雙曲線C:1(a>0,b>0)右焦點F2作雙曲線一條漸近線的垂線,垂足為P,與雙曲線交于點A,若 ,則雙曲線C的漸近線方程為( )
A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x
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【題目】已知命題的展開式中,僅有第7項的二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項為495;命題隨機變量服從正態(tài)分布,且,則.現(xiàn)給出四個命題:①,②,③,④,其中真命題的是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
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