（2012•廣東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2 3

，且橢圓C上的點到點Q（0，2）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知

cosA-3cosC

cosB

=

3c-a

b

．
（Ⅰ）求

sinC

sinA

的值；
（Ⅱ）若B為鈍角，b=10，求a的取值范圍．

（2012•湖南）函數(shù)f（x）=sin （ωx+φ）的導函數(shù)y=f′（x）的部分圖象如圖所示，其中，P為圖象與y軸的交點，A，C為圖象與x軸的兩個交點，B為圖象的最低點．
（1）若φ=

π

6

，點P的坐標為（0，

3 3

2

），則ω=；
（2）若在曲線段

ABC

與x軸所圍成的區(qū)域內隨機取一點，則該點在△ABC內的概率為．

若實數(shù)x，y滿足

x+y-4≤0 y-1≥0 2x+y-5≥0

 則z=x+2y的最大值為．

（2011•上海模擬）如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的對應過程：區(qū)間（0，1）中的實數(shù)m對應數(shù)軸上（線段AB）的點M（如圖1）；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合（如圖2）；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上；點A的坐標為（0，1）（如圖3），當點M從A到B是逆時針運動時，圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），按此對應法則確定的函數(shù)使得m與n對應，即
f（m）=n．

對于這個函數(shù)y=f（x），有下列命題：
①f(

1

4

)=-1；  ②f（x）的圖象關于(

1

2

，0)對稱；  ③若f(x)=

3

，則x=

5

6

；  ④f（x）在（0，1）上單調遞增．
其中正確的命題個數(shù)是（　　）

關于直線m，n與平面α，β，γ有以下三個命題
（1）若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n；
（2）若α∩β=m，α⊥γ，β⊥γ，則m⊥γ；
（3）若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n，
其中真命題有（　�。�

設O為坐標原點，A（4，a），B（b，8），C（a，b），
（1）若四邊形OABC是平行四邊形，求∠AOC的大小；
（2）在（1）的條件下，設AB中點為D，OD與AC交于E，求

OE

．

一次函數(shù)f（x）=mx+n與指數(shù)型函數(shù)g（x）=a^x+b（a＞0，a≠1）的圖象交于兩點A（0，1），B（1，2），解答下列各題：
（1）求一次函數(shù)f（x）和指數(shù)型函數(shù)g（x）的表達式；
（2）作出這兩個函數(shù)的圖象；
（3）填空：當x∈時，f（x）≥g（x）；當x∈時，f（x）＜g（x）．

已知最小正周期為2的函數(shù)y=f（x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x²，則函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象與y=|log₅x|的圖象的交點個數(shù)為．

已知：m＞0，且10x=lg(5m)+lg

2

m

，則x的值為．