設(shè)x，y∈R，且x+y=4，則5^x+5^y的最小值是．

已知函數(shù)f（x）=

1+x

a(1-x)

lnx．
（1）設(shè)a=1，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對任意x∈（0，1），f（x）＜-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)g（x）=f′（x）+6x是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）若a＞0，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)的極值．

下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：

設(shè)第n個圖有a_n個樹枝，則a_n+1與a_n（n≥2）之間的關(guān)系是．

設(shè)f(x)=

lnx-1

lnx+1

，若f（x₁）+f（ex₂）=1（其中x₁＞e，x₂＞e），則f（x₁x₂）的最小值為（　　）

已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．
（1）當(dāng)a=0時，若直線y=2x+m與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，求m的值；
（2）若f（x）在[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，求a的最小值；
（3）當(dāng)x∈[1，2e]時，|f（x）|≤e恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（e為自然對數(shù)的底）．

為了保護(hù)環(huán)境，某化工廠在政府部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)改造：每天把工業(yè)廢氣轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品和符合排放要求的氣體，經(jīng)測算，該工廠每天處理廢氣的成本y（元）與處理廢氣量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：y=

1 16 x3+1000， x∈[10，40) 2x2-130x+5000， x∈[40，70]

，且每處理1噸工業(yè)廢氣可得價值為50元的某種化工產(chǎn)品．
（1）當(dāng)工廠日處理廢氣量x∈[40，70]時，判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，為了保證工廠在生產(chǎn)中沒有虧損現(xiàn)象出現(xiàn)，國家至少每天財政補(bǔ)貼多少元？
（2）若國家給予企業(yè)處理廢氣階梯式財政補(bǔ)貼，當(dāng)日廢氣處理量不足40噸時，給予每頓80元補(bǔ)貼，廢氣處理量不少于40噸時，超過40噸的部分再增加每頓55元的補(bǔ)貼，當(dāng)工廠的日處理量為多少噸時，工廠處理每頓廢氣的平均收益最大？

數(shù)列{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，a₂=6，S₃=26．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列．設(shè)第n個等差數(shù)列的前n項和是A_n．求關(guān)于n的多項式g（n），使得A_n=g（n）d_n對任意n∈N₊恒成立；
（3）對于（2）中的數(shù)列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個數(shù)列中是否存在不同的三項d_m，d_k，d_p（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：OE∥平面PDC；
（4）求證：平面PBD⊥平面ABCD．