Question

4．如圖所示，水平軌道PAB與$\frac{1}{4}$圓弧軌道BC相切于B點(diǎn)，其中，PA段光滑，AB段粗糙，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，AB段長(zhǎng)L=2m，BC段光滑，半徑R=1m．輕質(zhì)彈簧勁度系數(shù)k=200N/m，左端固定于P點(diǎn)，右端處于自由狀態(tài)時(shí)位于A點(diǎn)．現(xiàn)用力推質(zhì)量m=2kg的小滑塊，使其緩慢壓縮彈簧，當(dāng)推力做功W=25J時(shí)撤去推力．已知彈簧彈性勢(shì)能表達(dá)式E_p=$\frac{1}{2}$kx²，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量，重力加速度取g=10m/s²．
（1）求推力撤去瞬間，滑塊的加速度；
（2）求滑塊第一次到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)B點(diǎn)的壓力F_N；
（3）判斷滑塊能否越過(guò)C點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量守恒求出彈簧彈性勢(shì)能的大小，結(jié)合彈性勢(shì)能的表達(dá)式求出彈簧的形變量，從而根據(jù)胡克定律和牛頓第二定律求出滑塊的加速度．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度，通過(guò)牛頓第二定律求出在B點(diǎn)支持力的大小，從而根據(jù)牛頓第三定律求出滑塊對(duì)B點(diǎn)的壓力．
（3）根據(jù)功能關(guān)系求出到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度，從而判斷滑塊能否通過(guò)C點(diǎn)．

解答 解：（1）推力做功全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，則有 W=E_k    ①
即：25=$\frac{1}{2}$×200×x²．
解得 x=0.5m．  ②
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得 a=$\frac{kx}{m}$=$\frac{200×0.5}{2}$m/s²=50m/s²     ③
（2）設(shè)滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為v_B，由能量關(guān)系有
   W-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_B²．④
滑塊在B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得 F_N′-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$ ⑤
解得 F_N′=62N．⑥
由牛頓第三定律可知，滑塊對(duì)B點(diǎn)的壓力 F_N=F_N′=62N    ⑦
（3）設(shè)滑塊能夠到達(dá)C點(diǎn)，且具有速度v_c，由功能關(guān)系得
   W-μmgL-mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²   ⑧
代入數(shù)據(jù)解得  v_c=1m/s    ⑨
故滑塊能夠越過(guò)C點(diǎn)     
答：
（1）推力撤去瞬間，滑塊的加速度為50m/s²．
（2）滑塊第一次滑動(dòng)圓弧軌道最低點(diǎn)對(duì)B點(diǎn)的壓力為62N．
（3）滑塊能夠越過(guò)C點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是分析清楚能量是如何轉(zhuǎn)化，分段運(yùn)用能量守恒定律．還要知道在B點(diǎn)，由合力提供向心力．