Question

12．如右圖所示，在矩形ABCD區(qū)域內(nèi)，對(duì)角錢(qián)BD以上的區(qū)域存在有平行于AD向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，對(duì)角線(xiàn)BD以下的區(qū)域存在有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未標(biāo)出），矩形AD邊長(zhǎng)L，AB邊長(zhǎng)為2L．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子（重力不計(jì)）以初速度v_o從A點(diǎn)沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng)，在對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)P處進(jìn)入磁場(chǎng)，并從DC邊上以垂直于DC邊的速度離開(kāi)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��？
（2）帶電粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)速度v的大小和方向？
（3）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向？

Answer 1

分析 （1）（2）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為0的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)P點(diǎn)后，水平位移是豎直位移的$\sqrt{2}$倍，抓住這一關(guān)系，求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小．在豎直方向上做勻變速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出豎直方向速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成和分解規(guī)律求出速度，根據(jù)兩分速度的關(guān)系求出夾角；
（3）作出進(jìn)入磁場(chǎng)的軌跡圖，確定出圓心，根據(jù)幾何關(guān)系得出半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，通過(guò)半徑公式，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小，根據(jù)洛倫茲力的方向確定出磁場(chǎng)的方向．

解答 解：（1）（2）帶電粒子受電場(chǎng)力作用做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
在豎直方向上：$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$at²，
在水平方向上：L=v₀t，
由牛頓第二定律得：Eq=ma，
解得：a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，
場(chǎng)強(qiáng)為：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
在豎直方向上做勻變速運(yùn)動(dòng)，Y方向分速度為v_y，
v_y²=2a•$\frac{L}{2}$，
解得：v_y=v₀，
到P點(diǎn)時(shí)速度為：V=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
速度與水平方向的夾角θ滿(mǎn)足：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，
此時(shí)速度與水平方向的夾角為θ=45°；
（3）由幾何關(guān)系可知：粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為45°   
sin45°=$\frac{\frac{L}{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$，方向垂直紙面向外．
答：（1）場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)速度v的大小為$\sqrt{2}$v₀，速度與水平方向的夾角為θ=45°；
（3）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為：$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$，方向垂直紙面向外

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類(lèi)平拋和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力；要明確粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)一般根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成和分解規(guī)律求解；而在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)要注意分析粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，確定圓心和半徑，再利用洛倫茲力充當(dāng)向心力求解．