Question

14．如圖所示，在水平轉臺的光滑水平橫桿上穿有兩個質(zhì)量分別為2m和m的小球A和B，A、B間用勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接，彈簧的自然長度為L，當轉臺以角速度ω繞豎直軸勻速轉動時，如果A、B仍能相對橫桿靜止而不碰左右兩壁，求：
（1）A、B兩球分別離開中心轉軸的距離．
（2）若轉臺的半徑也為L，求角速度ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）兩球做圓周運動，角速度相等，靠彈簧的彈力提供向心力，根據(jù)向心力的關系結合胡克定律和牛頓第二定律求出距離中心的距離．
（2）抓住B的轉動半徑小于L，結合B離中心轉軸的距離表達式求出角速度的范圍．

解答 解：（1）設A、B兩球轉動時的半徑分別為r_A，r_B，彈簧伸長的長度為x
對A球：kx=2mω²r_A   
對B球：kx=mω²r_B
又 r_A+r_B=L+x
解得：${r}_{A}=\frac{kL}{3k-2m{ω}^{2}}$，${r}_{B}=\frac{2kL}{3k-2m{ω}^{2}}$
（2）要使兩球都不碰左右兩壁 則 r_B＜L
則$ω＜\sqrt{\frac{k}{2m}}$  
答：（1）A、B兩球分別離開中心轉軸的距離分別為$\frac{kL}{3k-2m{ω}^{2}}$和$\frac{2kL}{3k-2m{ω}^{2}}$．
（2）若轉臺的半徑也為L，角速度ω的取值范圍為$ω＜\sqrt{\frac{k}{2m}}$．

點評 解決本題的關鍵兩球的角速度相等，靠彈力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律進行求解．