Question

如圖，在真空室內取坐標系Oxy，在x軸上方存在勻強電場，場強方向沿負y方向，x軸下方存在二個方向都垂直于紙面向外的勻強磁場區(qū)Ⅰ和Ⅱ，平行于x軸的虛線ab是它們的分界線，虛線上方（包括虛線處）的磁場區(qū)Ⅰ的磁感應強度B₁=0.20T，虛線下方的磁場區(qū)Ⅱ的磁感應強度B₂=0.10T，虛線與x軸相距d=4.0cm．在第一象限內有一點P，其位置坐標x=16.0cm、y=10.0cm．一帶正電的粒子處于P點從靜止釋放，粒子的電荷量與質量之比

q

m

=5.0×107C/kg．為使粒子能通過坐標原點O，勻強電場的場強E必須滿足什么條件？不計粒子的重力作用．

Answer 1

分析：粒子從P點開始運動，可運用動能定理列式求得粒子進入磁場Ⅰ時的速度v．粒子進入磁場中由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律列式可得到軌道半徑的表達式．為使粒子能通過坐標原點O，有兩種情況：
一種：若粒子沒能進入磁場區(qū)Ⅱ而最后能通過坐標原點O，則粒子每次進入磁場區(qū)Ⅰ中運動都是轉動半周后后就離開磁場進入電場，重復運動直到通過坐標原點O；
二種：若粒子能進入磁場區(qū)Ⅱ且最后能通過坐標原點O，則粒子的運動軌跡如圖中（2）所示，A₁和A₂分別為粒子在磁場區(qū)Ⅰ和Ⅱ中做圓周運動的圓心；
根據幾何知識求出粒子在磁場的軌道半徑，即可求得E滿足的條件．

解答：解：粒子從P點開始運動，進入磁場區(qū)Ⅰ時的速度為v，由動能定理得 qEy=

1

2

mv2 ①
用R₁、R₂分別表示粒子在磁場區(qū)Ⅰ和區(qū)Ⅱ中運動的軌道半徑，有
    qvB1=m

v2

R1

 ②
    qvB2=m

v2

R2

 ③
（1）若粒子沒能進入磁場區(qū)Ⅱ而最后能通過坐標原點O，則粒子每次進入磁場區(qū)Ⅰ中運動都是轉動半周后后就離開磁場進入電場，重復運動直到通過坐標原點O，粒子的一種運動軌跡如圖中（1）所示，有
  n?2R₁=x ④
  R₁≤d   ⑤
解得 R1=

8.0

n

cm（n=2，3，4…）   ⑥
    E=

6.4×104

n2

V/m（n=2，3，4…） ⑦
（2）若粒子能進入磁場區(qū)Ⅱ且最后能通過坐標原點O，則粒子的運動軌跡如圖中（2）所示，A₁和A₂分別為粒子在磁場區(qū)Ⅰ和Ⅱ中做圓周運動的圓心
在△A₁CD中，有cosθ=

DC

A1C

=

d

R1

  ⑧
在△A₁ A₂F中，有 sinθ=

FA1

A1A2

=

x 2 -R1

R2-R1

  ⑨
解得cosθ=0.6，R₁=5.0cm  ⑩
   E=2.5×10⁴V/m （11）
當勻強電場的場強E=2.5×10⁴V/m或 E=

6.4×104

n2

V/m（n=2，3，4…）時，粒子能通過坐標原點O．
答：勻強電場的場強E=2.5×10⁴V/m或 E=

6.4×104

n2

V/m（n=2，3，4…）時，粒子能通過坐標原點O．

點評：本題一考慮問題要全面，不能漏解，二要抓住圓周運動的周期性，通過畫軌跡，得到半徑的通項，進行求解．