Question

在真空室內(nèi)取坐標(biāo)系xOy，在x軸上方存在二個(gè)方向都垂直于紙面向外的磁場(chǎng)區(qū)Ⅰ和Ⅱ（如圖），平行于x軸的虛線MM’和NN’是它們的邊界線，兩個(gè)區(qū)域在y方向上的寬度都為d、在x方向上都足夠長(zhǎng)．Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)內(nèi)分別充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B和

2

3

B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一帶正電的粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，從坐標(biāo)原點(diǎn)O以大小為v的速度沿y軸正方向射入Ⅰ區(qū)的磁場(chǎng)中．不計(jì)粒子的重力作用．
（1）如果粒子只是在Ⅰ區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng)而沒有到達(dá)Ⅱ區(qū)，那么粒子的速度v滿足什么條件？粒子運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)x軸？
（2）如果粒子運(yùn)動(dòng)過程經(jīng)過Ⅱ區(qū)而且最后還是從x軸離開磁場(chǎng)，那么粒子的速度v又滿足什么條件？并求這種情況下粒子到達(dá)x軸的坐標(biāo)范圍？

Answer 1

分析：該題（1）中，粒子在一個(gè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，再次等待x軸時(shí)，用的時(shí)間是半個(gè)周期，該問較容易．（2）問中，兩部分的磁場(chǎng)強(qiáng)度不同，故半徑也不同，這是解題的關(guān)鍵．根據(jù)半徑的公式：r=

mv

qB

，可知粒子在MN之間的半徑是粒子在OM之間半徑的1.5倍，因此要認(rèn)真仔細(xì)地做出運(yùn)動(dòng)的圖線，找出各物理量之間的關(guān)系，把兩個(gè)臨界條件（恰好到達(dá)M和恰好到達(dá)N）代入公式算出結(jié)果．

解答：解：粒子恰好沒有到達(dá)M的軌跡如圖，則：R=d
由洛倫茲力提供向心力：qvB=

mv2

R

得：v=

qBd

m

粒子只是在Ⅰ區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng)而沒有到達(dá)Ⅱ區(qū)，粒子的速度應(yīng)滿足：v≤

qBd

m

又根據(jù)T=

2πR

v

及t=

T

2

得：t=

πm

qB

（2）粒子經(jīng)過Ⅱ區(qū)而且剛好能從x軸離開磁場(chǎng)的軌跡如圖
依題意，有 qvB=

mv2

R1

及 qv

2

3

B=

mv2

R2

由幾何關(guān)系得：

R2-d

d

=

R2

R1

整理得：v=

5qBd

3m

設(shè)此時(shí)粒子離開磁場(chǎng)的坐標(biāo)為L(zhǎng)，則L=2R1+2

(R2-R1)2-(R2-2d)2

聯(lián)立以上3個(gè)公式，整理得：L=

14

3

d
故粒子速度應(yīng)滿足：

qBd

m

＜v≤

5qBd

3m

粒子到達(dá)x軸的坐標(biāo)范圍為：2d＜x≤

14

3

d
答：（1）粒子的速度v滿足：v≤

qBd

m

粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=

πm

qB

；（2）該情況下粒子的速度v又滿足：

qBd

m

＜v≤

5qBd

3m

；粒子到達(dá)x軸的坐標(biāo)范圍為：2d＜x≤

14

3

d

點(diǎn)評(píng)：該題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，（1）只有一個(gè)磁場(chǎng)，較簡(jiǎn)單，（2）有兩個(gè)強(qiáng)度不同的磁場(chǎng)，要仔細(xì)地做出運(yùn)動(dòng)的圖線，并結(jié)合兩個(gè)臨界條件才能正確解題．該題難度較大，屬于難題．