Question

14．如圖，墻壁上落有兩只飛鏢，它們是從同一位置水平射出的．飛鏢A與豎直墻壁成α角，飛鏢B與豎直墻壁成β角；兩者相距為d，假設(shè)飛鏢的運(yùn)動(dòng)是平拋運(yùn)動(dòng)．求：
（1）射出點(diǎn)離墻壁的水平距離；
（2）若在該射出點(diǎn)水平射出飛鏢C，要求它以最小動(dòng)能擊中墻壁，則C的初速度應(yīng)為多大？
（3）在第（2）問情況下，飛鏢C與豎直墻壁的夾角多大？射出點(diǎn)離地高度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）兩只飛鏢水平射出，都做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向的分運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向的分運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度的分解，用豎直方向的分速度分別表示出兩個(gè)飛鏢的初速度，由水平距離與初速度之比表示兩個(gè)飛鏢運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、兩個(gè)飛鏢豎直距離之差等于d，即可求解水平距離．
（2）將飛鏢的運(yùn)動(dòng)沿水平方向與豎直方向分解，寫出飛鏢的動(dòng)能的表達(dá)式，確定動(dòng)能最小的條件，然后即可求出；
（3）在（2）的條件下，將豎直方向的位移公式代入即可求出．

解答 解：（1）設(shè)水平距離為S，鏢的初速度為v₀，豎直分速度為v_y，速度與豎直方向的夾角為θ．
則v_y=v₀cotθ=gt
  v₀=$\frac{S}{t}$
聯(lián)立解得：t²=$\frac{Scotθ}{g}$
下落高度h=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{1}{2}$Scotθ
則由題有：h_A=$\frac{1}{2}$S•cotα，
h_B=$\frac{1}{2}$S•cotβ
又 h_B-h_A=d
解得：S=$\frac{2d}{cotβ-cotα}$
（2）設(shè)飛鏢到達(dá)墻壁時(shí)的速度為v，則：
到達(dá)墻壁的動(dòng)能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m•\frac{{v}_{0}^{2}}{{sin}^{2}θ}$
由于：$\frac{{v}_{0}^{2}}{{sin}^{2}θ}$=$\frac{（\frac{S}{t}）^{2}}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{\frac{{S}^{2}}{\frac{S•cotθ}{g}}}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{gS}{sinθcosθ}$
可知當(dāng)sinθ•cosθ最大時(shí)，飛鏢的動(dòng)能最小，由三角函數(shù)的關(guān)系可知，sinθ•cosθ最大時(shí)θ=45°．
聯(lián)立以上的方程，θ=45°時(shí)，得：${v}_{0}=\frac{S}{t}=\sqrt{gS}$=$\sqrt{\frac{2gd}{cotβ-cotα}}$
（3）在（2）的情況下，若飛鏢不落地，則最小的高度：${h}_{min}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}g•\frac{Scot45°}{g}=\frac{1}{2}S$=$\fracp1v3bxd{cotβ-cotα}$
答：（1）射出點(diǎn)離墻壁的水平距離是$\frac{2d}{cotβ-cotα}$；
（2）若在該射出點(diǎn)水平射出飛鏢C，要求它以最小動(dòng)能擊中墻壁，則C的初速度應(yīng)為$\sqrt{\frac{2gd}{cotβ-cotα}}$；
（3）在第（2）問情況下，飛鏢C與豎直墻壁的夾角是45°．射出點(diǎn)離地高度應(yīng)滿足h≥$\frac1bnr1rf{cotβ-cotα}$．

點(diǎn)評(píng) 該題將日常中常見的飛鏢運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)相結(jié)合進(jìn)行考查，因涉及最小值問題，難度比較大．解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解．