Question

3．如圖所示，在xoy平面內(nèi)，三個(gè)半徑為a 的四分之一圓形有界區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ內(nèi)有垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（含邊界上）．一群質(zhì)量為m電荷量為q的帶正電的粒子同時(shí)從坐標(biāo)原點(diǎn)O以相同的速率、不同的方向射入第一象限內(nèi)（含沿x軸、y軸方向），它們?cè)诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑也為a，在y≤-a的區(qū)域，存在場(chǎng)強(qiáng)為E、沿-x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．整個(gè)裝置在真空中，不計(jì)粒子的重力及粒子之間的相互作用．求：
（1）粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)時(shí)的速率v₀；
（2）這群粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)至運(yùn)動(dòng)到x軸的最長(zhǎng)時(shí)間；
（3）這群粒子到達(dá)y軸上的區(qū)域范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)時(shí)的速率．
（2）從O沿+y軸方向射入磁場(chǎng)的粒子，從O到C耗時(shí)最長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)和速度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）這些粒子經(jīng)過(guò)Ⅰ區(qū)域偏轉(zhuǎn)后方向都變成與+x軸平行，接著勻速直線進(jìn)入Ⅱ區(qū)域，經(jīng)過(guò)Ⅱ區(qū)域偏轉(zhuǎn)又都通過(guò)C點(diǎn)．從C點(diǎn)進(jìn)入Ⅲ區(qū)域，經(jīng)過(guò)Ⅲ區(qū)域偏轉(zhuǎn)，離開(kāi)Ⅲ區(qū)域時(shí)，所有粒子都變成與-y軸平行（即垂直進(jìn)入電場(chǎng)），分別求出x=2a進(jìn)入電場(chǎng)的粒子和x=3a進(jìn)入電場(chǎng)的粒子到達(dá)y軸的坐標(biāo)，從而得出這群粒子到達(dá)y軸上的區(qū)域范圍．

解答 解：（1）由$qB{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$得，${v}_{0}=\frac{qBa}{m}$，
（2）這些粒子中，從O沿+y軸方向射入磁場(chǎng)的粒子，從O到C耗時(shí)最長(zhǎng)，由t=$\frac{s}{{v}_{0}}$得，
${t}_{max}=\frac{πa}{{v}_{0}}=\frac{πm}{qB}$．
（3）這些粒子經(jīng)過(guò)Ⅰ區(qū)域偏轉(zhuǎn)后方向都變成與+x軸平行，接著勻速直線進(jìn)入Ⅱ區(qū)域，經(jīng)過(guò)Ⅱ區(qū)域偏轉(zhuǎn)又都通過(guò)C點(diǎn)．
從C點(diǎn)進(jìn)入Ⅲ區(qū)域，經(jīng)過(guò)Ⅲ區(qū)域偏轉(zhuǎn)，離開(kāi)Ⅲ區(qū)域時(shí)，所有粒子都變成與-y軸平行（即垂直進(jìn)入電場(chǎng)）   
對(duì)于從x=2a進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，在-x方向的分運(yùn)動(dòng)有：$2a=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×{{t}_{1}}^{2}$                                   
解得${t}_{1}=\sqrt{\frac{4ma}{qE}}$．
則該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)為：${y}_{1}=-a-{v}_{0}{t}_{1}=-a-Ba\sqrt{\frac{4aq}{Em}}$．
對(duì)于從x=3a進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，在-x方向的分運(yùn)動(dòng)有：$3a=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×{{t}_{2}}^{2}$，
解得${t}_{2}=\sqrt{\frac{6am}{qE}}$．
則該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)為：${y}_{2}=-a-{v}_{0}{t}_{2}=-a-Ba\sqrt{\frac{6aq}{Em}}$．
這群粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的區(qū)間為：$-a-Ba\sqrt{\frac{6aq}{Em}}≤y≤-a-Ba\sqrt{\frac{4aq}{Em}}$．
答：（1）粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)時(shí)的速率為$\frac{qBa}{m}$；
（2）這群粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)至運(yùn)動(dòng)到x軸的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{πm}{qB}$；
（3）這群粒子到達(dá)y軸上的區(qū)域范圍為$-a-Ba\sqrt{\frac{6aq}{Em}}≤y≤-a-Ba\sqrt{\frac{4aq}{Em}}$．

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)都是用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的思想，這是難點(diǎn)，也是考試的熱點(diǎn)，要透徹理解．