Question

【題目】地磁場可以減少宇宙射線中帶電粒子對地球上生物體的危害。為研究地磁場，某研究小組模擬了一個地磁場。如圖所示，模擬地球半徑為R,地球赤道平面附近的地磁場簡化為赤道上方厚度為2R、磁感應強度大小為B、方向垂直于赤道平面的勻強磁場。磁場邊緣A處有一粒子源，可在赤道平面內(nèi)以不同速度向各個方向射入某種帶正電粒子。研究發(fā)現(xiàn)，當粒子速度為2v時，沿半徑方向射入磁場的粒子恰不能到達模擬地球。不計粒子重力及大氣對粒子運動的影響，且不考慮相對論效應。

（1）求粒子的比荷；

（2）若該種粒子的速度為v，則這種粒子到達模擬地球的最短時間是多少？

（3）試求速度為2v的粒子到達地球粒子數(shù)與進入地磁場粒子總數(shù)比值η。（結果用反三角函數(shù)表示。例：，則，θ為弧度）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）其軌跡如圖1所示（和地球相切）設該粒子軌跡半徑為r，則根據(jù)幾何關系：①

解得②

又③

由②③得，④

（2）速度為v的粒子進入磁場有：⑤

由④⑤得，⑥

若要時間最短，則粒子在磁場中運動的弧長最短，故從A斜向上射入，在A交點E到達地球的弦長最短時間最短．

，故，

得：，

（3）沿徑向方向射入的粒子會和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁場的粒子也恰從地球上沿相切射出，在此θ角范圍內(nèi)的粒子能到達地球，其余進入磁場粒子不能到達地球．

作A點該速度垂直和過切點與O點連線延長線交于F點，則F點為圓心，如圖3．

AF=4R，AO=OF=3R，得

故，