Question

15．如圖，AB是長(zhǎng)度s=0.5m的水平軌道，B端與半徑為R=0.1m的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD垂直．A端左側(cè)固定一個(gè)傾角θ=30°的光滑斜面，連接處順滑，穿過(guò)定滑輪（足夠高）的輕繩兩端分別系著小物塊a和b，a的質(zhì)量m₁=1kg．開(kāi)始時(shí)將b按壓在地面不動(dòng)，a位于斜面上高h(yuǎn)=0.5m的地方，此時(shí)滑輪左邊的繩子豎直而右邊的繩子突然斷開(kāi)，a繼續(xù)沿著水平面運(yùn)動(dòng)，然后滑上軌道BCD，已知a與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s²．
（1）若a到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度v_c=1m/s，求a進(jìn)入BD軌道的B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力大��；
（2）欲使a能滑上BC軌道但不會(huì)從最高點(diǎn)D滑出，求b的質(zhì)量m₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出a到達(dá)B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出軌道對(duì)a的支持力，從而得出a對(duì)軌道的壓力．
（2）根據(jù)滑塊恰好運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，結(jié)合動(dòng)能定理求出a經(jīng)過(guò)A的最小速度，抓住滑塊恰好到達(dá)c點(diǎn)，結(jié)合動(dòng)能定理求出a經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的最大速度，再運(yùn)用系統(tǒng)機(jī)械能守恒求出b的質(zhì)量范圍．

解答 解：（1）設(shè)物塊a經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為v_b，由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{c}}^{2}+{m}_{1}gR$，
設(shè)物塊a剛進(jìn)入圓軌道BC時(shí)受到的支持力為N，由牛頓第二定律知：
$N-{m}_{1}g={m}_{1}\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：N=40N，
由牛頓第三定律知，物塊a對(duì)軌道的壓力為40N．
（2）設(shè)物塊a經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度為v₁時(shí)，恰能滑到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理有：
$-{μm}_{1}gs=0-\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=$\sqrt{2}m/s$．
若滑塊恰好到達(dá)C點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-μ{m}_{1}gs-mgR=0-\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{2}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得v₂=2m/s．
綜上可知，物塊a經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的速度v_A應(yīng)滿足：$\sqrt{2}m/s＜{v}_{A}≤2m/s$，
繩斷前a．b組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{A}}^{2}$=${m}_{1}gh-{m}_{2}g\frac{h}{sinθ}$，
解得：0.25kg≤m₂≤0.36kg．
答：（1）a進(jìn)入BD軌道的B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力大小為40N．
（2）b的質(zhì)量m₂的取值范圍為0.25kg≤m₂≤0.36kg．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒、牛頓定律的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵抓住臨界狀態(tài)，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．