Question

【題目】如圖甲所示，半徑為r的金屬細(xì)圓環(huán)水平放置，環(huán)內(nèi)存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化關(guān)系為（k>0，且為已知的常量）。

（1）已知金屬環(huán)的電阻為R。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，求金屬環(huán)的感應(yīng)電動(dòng)勢和感應(yīng)電流I；

（2）麥克斯韋電磁理論認(rèn)為：變化的磁場會(huì)在空間激發(fā)一種電場，這種電場與靜電場不同，稱為感生電場或渦旋電場。圖甲所示的磁場會(huì)在空間產(chǎn)生如圖乙所示的圓形渦旋電場，渦旋電場的電場線與金屬環(huán)是同心圓。金屬環(huán)中的自由電荷在渦旋電場的作用下做定向運(yùn)動(dòng)，形成了感應(yīng)電流。渦旋電場力F充當(dāng)非靜電力，其大小與渦旋電場場強(qiáng)E的關(guān)系滿足。如果移送電荷q時(shí)非靜電力所做的功為W，那么感應(yīng)電動(dòng)勢。

圖甲 圖乙

a．請推導(dǎo)證明：金屬環(huán)上某點(diǎn)的場強(qiáng)大小為；

b．經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為，金屬的電阻源于定向運(yùn)動(dòng)的自由電子與金屬離子（即金屬原子失去電子后的剩余部分）的碰撞。在考慮大量自由電子的統(tǒng)計(jì)結(jié)果時(shí)，電子與金屬離子的碰撞結(jié)果可視為導(dǎo)體對電子有連續(xù)的阻力，其大小可表示為（b>0，且為已知的常量）。已知自由電子的電荷量為e，金屬環(huán)中自由電子的總數(shù)為N。展開你想象的翅膀，給出一個(gè)合理的自由電子的運(yùn)動(dòng)模型，并在此基礎(chǔ)上，求出金屬環(huán)中的感應(yīng)電流I。

（3）宏觀與微觀是相互聯(lián)系的。若該金屬單位體積內(nèi)自由電子數(shù)為n，請你在（1）和（2）的基礎(chǔ)上推導(dǎo)該金屬的電阻率ρ與n、b的關(guān)系式。

Answer 1

【答案】（1） （2）a. 見解析；b. （3）

【解析】試題分析（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律即可求解感應(yīng)電流；（2）根據(jù)電流的定義式，及自由電子在電場力作用下沿環(huán)運(yùn)動(dòng)的情況求出環(huán)形電流的表達(dá)式；（3）利用前兩問的結(jié)論，結(jié)合電阻定律即可求出電阻率。

（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有：

根據(jù)歐姆定律有：

（2）a．設(shè)金屬環(huán)中自由電子的電荷量為e。一個(gè)自由電子在電場力的作用下沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)一周

電場力做的功：

解得：

又因?yàn)?/span>：

所以：

b．假設(shè)電子以速度v沿金屬環(huán)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體對電子的阻力。

沿切線方向，根據(jù)牛頓第二定律有：

又因?yàn)?/span>：

解得：

電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期

則

（3）由（1）和（2）中的結(jié)論可知

設(shè)金屬導(dǎo)線的橫截面積為S，則有

所以

又因?yàn)?/span>

解得：