Question

2．如圖所示，內壁光滑長度為4l、橫截面積為S的汽缸A、B，A水平、B豎直固定，之間由一段容積可忽略的細管相連，整個裝置置于溫度27℃、大氣壓為p₀的環(huán)境中，活塞C、D的質量及厚度均忽略不計．原長3l、勁度系數$k=\frac{{3{p_0}S}}{l}$的輕彈簧，一端連接活塞C、另一端固定在位于汽缸A缸口的O點．開始活塞D距汽缸B的底部3l．后在D上放一質量為$m=\frac{{{p_0}S}}{g}$的物體．求：
（1）穩(wěn)定后活塞D下降的距離；
（2）改變汽缸內氣體的溫度使活塞D再回到初位置，則氣體的溫度應變?yōu)槎嗌伲?

Answer 1

分析 （1）開始時，活塞質量不計，容器內氣體的壓強等于大氣壓，彈簧處于原長；在活塞D上放上質量為m的物體后，活塞D下降后再次達到平衡時，由對活塞C受力平衡條件求得容器內氣體的壓強．封閉氣體發(fā)生等溫變化，根據玻意耳定律列式求解；
（2）升高氣缸內氣體溫度，當活塞D剛好回到初始位置，此過程中壓強不變，彈簧的形變量不變，C的位置不變，對最初和最終根據理想氣體狀態(tài)方程列式即可求出氣體溫度

解答 解：（1）開始時被封閉氣體的壓強為${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}$，活塞C距氣缸A的底部為l，被封氣體的體積為4lS，重物放在活塞D上穩(wěn)定后，被封氣體的壓強為：
${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}=2{p}_{0}^{\;}$
活塞C將彈簧向左壓縮了距離${l}_{1}^{\;}$，則活塞C受力平衡，有：
$k{l}_{1}^{\;}=（{p}_{2}^{\;}-{p}_{0}^{\;}）S$
根據玻意耳定律，得：${p}_{0}^{\;}4lS={p}_{2}^{\;}xS$
解得：x=2l
${l}_{1}^{\;}=\frac{l}{3}$
活塞D下降的距離為：$△l=4l-x+{l}_{1}^{\;}=\frac{7}{3}l$
（2）升高溫度過程中，氣體做等壓變化，活塞C的位置不動，最終被封氣體的體積為$（4l+{l}_{1}^{\;}）•S$，對最初和最終狀態(tài)，根據理想氣體狀態(tài)方程得
$\frac{{p}_{0}^{\;}4lS}{27+273}=\frac{{p}_{2}^{\;}（4l+\frac{l}{3}）S}{{t}_{2}^{\;}+273}$
解得：${t}_{2}^{\;}=377℃$
答：（1）穩(wěn)定后活塞D下降的距離$\frac{7}{3}l$；
（2）改變汽缸內氣體的溫度使活塞D再回到初位置，則氣體的溫度應變?yōu)?77℃

點評 本題考查玻意耳定律的應用及壓強的計算，關鍵要注意首先明確氣體發(fā)生的什么變化，根據力平衡法求氣體的壓強，然后才能分析狀態(tài)參量，由理想氣體的狀態(tài)方程或實驗定律進行分析求解，第二問要注意升溫過程壓強不變，彈簧的形變量不變，活塞C不動．