Question

10．如圖所示，一個半徑為R、內側光滑的圓形軌道平放于光滑水平面上并被固定，其圓心為O．有a、b兩個可視為質點的小球，分別靜止靠在軌道內側、直徑AB的兩端，兩球質量分別為m_a=4m和m_b=m．現(xiàn)給a球一個沿軌道切線方向的水平初速度v₀，使其從A向B運動并與b球發(fā)生彈性碰撞，已知兩球碰撞時間極短，求兩球第一次碰撞和第二次碰撞之間的時間間隔．

Answer 1

分析 先對兩球進行受力受力，判斷出兩球相互作用的過程中動量守恒，利用動量守恒定律及能量守恒定律可求得碰撞后的兩球的速度，判斷出碰撞后兩球的運動方向，當再次相遇時兩球轉過的弧長之差為圓周的長度，即可得知兩次相碰的時間間隔．

解答 解：a球與b球在B點第一次相碰，兩球組成的系統(tǒng)合外力為零，碰撞過程中動量守恒，以逆時針方向為正方向，設第一次碰后a、b的速度分別為v_a和v_b，由動量守恒定律得：
m_av₀=m_av_a+m_bv_b
碰撞過程中機械能守恒，有：
$\frac{1}{2}•{m_a}v_0^2=\frac{1}{2}•{m_a}{v_a}_{\;}^2+\frac{1}{2}•{m_b}{v_b}_{\;}^2$
聯(lián)立解得：${v_b}=\frac{{2{m_a}}}{{{m_a}+{m_b}}}{v_0}=\frac{8}{5}{v_0}$
${v_a}={v_b}-{v_0}=\frac{3}{5}{v_0}$
v_a和v_b均為正值，表明碰后兩球運動方向相同（都朝逆時針方向）
到第二次碰前，設時間間隔為△t，有：
（v_b-v_a）•△t=2πR
解得：$△t=\frac{2πR}{v_0}$
答：兩球第一次碰撞和第二次碰撞之間的時間間隔為$\frac{2πR}{{v}_{0}}$

點評 該題考查到動量守恒定律及機械能守恒定律，在用于定律守恒定律解題時，要注意解題的一般步驟，首先要確定研究對象（由哪些問題組成的系統(tǒng)），對其受力分析，判斷是否滿足動量守恒的條件，再確定正方向后列式計算．守恒條件的判斷是解答該類型題的關鍵．
動量守恒定律成立的條件：
①系統(tǒng)不受外力或系統(tǒng)所受外力的合力為零；
②系統(tǒng)所受的外力的合力雖不為零，但系統(tǒng)外力比內力小得多，如碰撞問題中的摩擦力，爆炸過程中的重力等外力比起相互作用的內力來小得多，可以忽略不計；
③系統(tǒng)所受外力的合力雖不為零，但在某個方向上的分量為零，則在該方向上系統(tǒng)的總動量的分量保持不變．
動量守恒的速度具有“四性”：
①矢量性；②瞬時性；③相對性；④普適性．