Question

7．某校開展蕩秋千比賽，質(zhì)量為m的某同學(xué)抓住長為L的細繩繞O點擺動，開始時繩與豎直方向成30°角，空氣阻力不計，求．
（1）該同學(xué)在A點的初速度多大時恰好能運動到C點？
（2）該同學(xué)在A點的初速度多大時恰好能通過D點在豎直平面內(nèi)作圓周運動？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒即可求出在A點的初速度；
（2）人在通過最高點時，重力恰好通過向心力，由此求出通過D點的速度，然后由機械能守恒即可求出．

解答 解：（1）選擇最低點為0勢能點，A到C的過程中機械能守恒，得：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+mgL（1-cosθ）=mgL$
所以：${v}_{1}=\sqrt{gLcosθ}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{2}}$
（2）在通過最高點時，重力恰好通過向心力，則：mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{L}$
從A點到達D的過程中：$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+mgL（1-cosθ）=2mgL+\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
聯(lián)立得：v₂=$\sqrt{gL（3+2cosθ）}$=$\sqrt{（3+\sqrt{3}）gL}$
答：（1）該同學(xué)在A點的初速度為$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{2}}$時恰好能運動到C點；
（2）該同學(xué)在A點的初速度為$\sqrt{（3+\sqrt{3}）gL}$時恰好能通過D點在豎直平面內(nèi)作圓周運動．

點評 該題考查豎直平面內(nèi)的圓周運動，解答的關(guān)鍵是恰好通過最高點時，重力恰好提供向心力．