Question

10．如圖所示，固定的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道AB的半徑r=1.25m，A點(diǎn)與圓心O在同一水平線上，圓弧軌道底端B點(diǎn)與圓心在同一豎直線上．質(zhì)量m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)底端時(shí)水平進(jìn)入軸心距離L=4m的水平傳送帶，傳送帶可由一電機(jī)驅(qū)使沿順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動．已知物體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=0.15．不計(jì)物塊通過軌道與傳送帶交接處的動能損失，不計(jì)空氣阻力，（g=10m/s²）求：
（1）物塊從A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)時(shí)速度的大小v_B．
（2）若電機(jī)不開啟，傳送帶不動，物體能夠從傳送帶右端滑出，則物體滑離傳送帶右端的速度大小v₁為多少？
（3）若開啟電機(jī)，傳送帶以速率v₂=6m/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動，且已知物體到達(dá)傳送帶右端時(shí)速度已達(dá)到v₂，則傳送一個(gè)物體電動機(jī)對傳送帶需多做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）物體在曲面上運(yùn)動時(shí)，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物體到達(dá)曲面底端時(shí)的速度大小．
（2）對在傳送帶上的運(yùn)動過程，運(yùn)用動能定理，求出物體滑離傳送帶右端時(shí)的速度大�。�
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出物體在傳送帶上運(yùn)行的加速度，結(jié)合速度時(shí)間公式求出運(yùn)行的時(shí)間，從而得出這段過程中傳送帶的位移，根據(jù)能量守恒得出傳送一個(gè)物體電動機(jī)多做的功．

解答 解：（1）物體從曲面上下滑時(shí)機(jī)械能守恒，有$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得物體滑到底端時(shí)的速度${v}_{0}=\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s．
（2）物體滑離傳送帶右端時(shí)速度為v₁，根據(jù)動能定理
$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得${v}_{1}=\sqrt{2gh-2μgL}$=$\sqrt{25-2×0.15×10×4}$=3.6m/s．
（3）物體在傳送帶上的加速度 $a=\frac{μmg}{m}=μg$．
經(jīng)過的時(shí)間$t=\frac{{v}_{2}-{v}_{0}}{a}$．
傳送帶移動的距離s=v₂t．
W=μmgs．
解得：$W=m（{{v}_{2}}^{2}-{v}_{2}\sqrt{2gh}）$=1×$（36-6×\sqrt{25}）$=6J．
答：（1）物體到達(dá)曲面底端時(shí)的速度大小5m/s．（2）物體滑離傳送帶右端的速度大小3.6m/s．（3）傳送一個(gè)物體電動機(jī)對傳送帶多做的功6J．

點(diǎn)評 本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律、動能定理和能量守恒定律，綜合性較強(qiáng)，知道電動機(jī)多做的功等于摩擦力對傳送帶做功的大�。�