Question

19．電磁爐起加熱作用的底盤(pán)可以簡(jiǎn)化等效為如圖所示的31個(gè)同心導(dǎo)電圓環(huán)，各圓環(huán)之間彼此絕緣，導(dǎo)電圓環(huán)所用材料單位長(zhǎng)度的電阻為R₀=0.125π（Ω/m）．從中心向外第n個(gè)同心圓環(huán)的半徑r_n=$\root{3}{9n-1}$（cm），式中n=1、2…31．電磁爐工作時(shí)產(chǎn)生垂直于鍋底方向的變化磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化率為$\frac{△B}{△t}$=100π$\sqrt{2}$sinωt（T/s）．（為了方便計(jì)算取π²=10）
（1）半徑為r₁（n=1）的圓環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值為多少伏？
（2）半徑為r₁（n=1）的圓環(huán)中感應(yīng)電流的有效值為多少安？
（3）各導(dǎo)電圓環(huán)總的發(fā)熱功率為多少瓦？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出第n環(huán)（n=1）中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值，
（2）根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值，結(jié)合閉合電路歐姆定律，即可求解；
（3）根據(jù)最大值與有效值的關(guān)系，并結(jié)合電功率的表達(dá)式，從而可求解．

解答 解：（1）半徑為${r}_{1}^{\;}$的圓環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
${E}_{1}^{\;}=\frac{△B}{△t}{S}_{1}^{\;}$
${S}_{1}^{\;}=π{r}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得最大值${E}_{1m}^{\;}=0.40\sqrt{2}V$
（2）半徑為${r}_{1}^{\;}$的圓環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值${E}_{1有}^{\;}=0.40V$
圓環(huán)中電流的有效值${I}_{1有}^{\;}=\frac{{E}_{1有}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}$
${R}_{1}^{\;}=2π{r}_{1}^{\;}{R}_{0}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)得${I}_{1有}^{\;}=8.0A$
（3）第n個(gè)圓環(huán)的電動(dòng)勢(shì)${E}_{n}^{\;}=\frac{△B}{△t}{S}_{n}^{\;}=100π{S}_{n}^{\;}\sqrt{2}sinωt$
有效值${E}_{n有}^{\;}=100π{S}_{n}^{\;}$
${S}_{n}^{\;}=π{r}_{n}^{2}$
第n個(gè)圓環(huán)的熱功率${P}_{n}^{\;}=\frac{{E}_{n有}^{2}}{{R}_{n}^{\;}}$
代入已知條件得${P}_{n}^{\;}=0.40×（9n-1）$
（9n-1）是${a}_{1}^{\;}=8$，公差d=9的等差數(shù)列，求和公式$\frac{{a}_{1}^{\;}+{a}_{n}^{\;}}{2}$或$n{a}_{1}^{\;}+\frac{n（n-1）}{2}d$
所以${P}_{總}(cāng)^{\;}=0.40×[31×8+\frac{31×（31-1）}{2}×9]W=1773.2W$
各導(dǎo)電圓環(huán)總的發(fā)熱功率為$1.77×1{0}_{\;}^{3}W$或$1.8×1{0}_{\;}^{3}W$
答：（1）半徑為r₁（n=1）的圓環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值為$\frac{2\sqrt{2}}{5}V$
（2）半徑為r₁（n=1）的圓環(huán)中感應(yīng)電流的有效值為8安
（3）各導(dǎo)電圓環(huán)總的發(fā)熱功率為1773.2瓦

點(diǎn)評(píng) 考查法拉第電磁感應(yīng)定律與閉合電路歐姆定律的應(yīng)用，掌握交流電的最大值與有效值的關(guān)系，理解電功率的表達(dá)式的運(yùn)用．