Question

17．如圖（所示，光滑水平面上，質量為2m的小球B連接著輕質彈簧，處于靜止；質量為m的小球A以初速度v₀向右勻速運動，接著逐漸壓縮彈簧并使B運動，過一段時間A與彈簧分離．（彈簧始終處于彈性限度以內）
①在上述過程中，彈簧的最大彈性勢能多大．
②若開始時在小球B的右側某位置固定一塊擋板（圖中未畫出），在小球A與彈簧分離前使小球B與擋板發(fā)生正撞，并在碰后立刻將擋板撤走．設小球B與固定擋板的碰撞時間極短，碰后小球B的速度大小不變但方向相反．設此后彈簧的彈性勢能最大值的范圍．

Answer 1

分析 （1）當A、B速度相同時，彈簧的勢能最大，根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢能．
（2）對B球與擋板碰撞前瞬間和B與擋板碰后反彈，當A、B速度相等兩個過程運用動量守恒定律，通過能量守恒求出最大彈性勢能與B速度的表達式．通過對B速度最大值的范圍得出彈簧彈性勢能最大值的范圍．

解答 解：（1）當A球與彈簧接觸以后，在彈力作用下減速運動，而B球在彈力作用下加速運動，彈簧勢能增加，當A、B速度相同時，彈簧的勢能最大．
設A、B的共同速度為v，彈簧的最大勢能為E，則A、B系統(tǒng)動量守恒：mv₀=（m+2m）v…①
由機械能守恒得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+2m）v²+E_P…②
聯(lián)立兩式得：E_P=$\frac{1}{3}$mv₀²…③
（2）設B球與擋板碰撞前瞬間的速度為v_B，此時A的速度為v_A．
系統(tǒng)動量守恒：mv₀=mv_A+2mv_B…④
B與擋板碰后，以v_B向左運動，壓縮彈簧，當A、B速度相同（設為v_共）時，彈簧勢能最大，為E_m，則：
  mv_A-2mv_B=3mv_共…⑤
 $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$•3mv_共+E_m…⑥
由④⑤兩式得：v_共=$\frac{{v}_{0}-4{v}_{B}}{3}$
代入⑥式，化簡得：E_m=$\frac{8m}{3}$[-（v_B-$\frac{{v}_{0}}{4}$）²+$\frac{3{v}_{0}^{2}}{16}$]…⑦
而當彈簧恢復原長時相碰，v_B有最大值v_Bm，則：
   mv₀=mv_A′+2mv_Bm           
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_A′²+$\frac{1}{2}$×2mv_Bm²
聯(lián)立以上兩式得：v_Bm=$\frac{2}{3}$v₀，即v_B的取值范圍為：0＜v_B≤$\frac{2}{3}$v₀…⑧
結合⑦式可得：當v_B=$\frac{{v}_{0}}{4}$時，E_m有最大值為：$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$…⑨
當v_B=$\frac{2}{3}{v}_{0}$時，E_m有最小值為：$\frac{1}{27}m{v}_{0}^{2}$
所以此后彈簧的彈性勢能最大值的范圍為[$\frac{1}{27}m{v}_{0}^{2}$，$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$]．
答：（1）彈簧的最大彈性勢能是$\frac{1}{3}$mv₀²．
（2）此后彈簧的彈性勢能最大值的范圍為[$\frac{1}{27}m{v}_{0}^{2}$，$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$]．

點評 本題的關鍵理清兩球的運動過程，多次運用動量守恒定律和能量守恒定律，運用動量守恒定律時要注意選取正方向．