Question

8．如圖所示的真空區(qū)域存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN是電場(chǎng)與磁場(chǎng)的分界線，MN與水平成45°角，左側(cè)是水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E，右側(cè)是垂直向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．水平方向距離MN為L(zhǎng)的P點(diǎn)處有三個(gè)相同的帶正電的離子A、B、C，離子的電場(chǎng)q、質(zhì)量m，三離子同時(shí)從P點(diǎn)以同樣大小的速度率v0=$\sqrt{\frac{qEL}{4m}}$向左、向右、向下射出，（不考慮離子之間的相互作用于離子受到的重力作用的影響）．求：
（1）A、B兩粒子第一次經(jīng)過MN的時(shí)間差．
（2）經(jīng)多少時(shí)間，C離子在第一次到達(dá)MN前離MN最遠(yuǎn)．
（3）A、B兩離子第一次從磁場(chǎng)又回到電場(chǎng)時(shí)，都能經(jīng)過出發(fā)點(diǎn)P，則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多大．

Answer 1

分析 （1）分析AB在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)能定理可求得粒子到達(dá)MN的速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可求得AB兩粒子到達(dá)MN所用的時(shí)間，從而求出時(shí)間差值；
（2）C離子做類平拋運(yùn)動(dòng)，將速度和加速度分別向MN和垂直于MN的方向進(jìn)行分析，當(dāng)垂直于MN方向上的速度變?yōu)榱銜r(shí)距離MN最遠(yuǎn)，根據(jù)速度公式可求得離MN最時(shí)所用的時(shí)間；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，再次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系和類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可求得半徑大小，再由洛倫茲力充當(dāng)向心力即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．

解答 解：（1）AB粒子到達(dá)MN過程中由動(dòng)能定理可知：
EqL=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v=$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{qEL}{m}}$；
粒子在電場(chǎng)中的加速度a=$\frac{Eq}{m}$；
設(shè)向右為正方向，則A粒子的初速度為負(fù)，則A離子到達(dá)MN所需要的時(shí)間t_A=$\frac{v-（-{v}_{0}）}{a}$=$\frac{v+{v}_{0}}{a}$
B離子到達(dá)MN需要的時(shí)間t_B=$\frac{v-{v}_{0}}{a}$
則AB第一次經(jīng)過MN的時(shí)間差△t=t_A-t_B=$\frac{2{v}_{0}}{a}$=$\frac{2\sqrt{\frac{qEL}{4m}}}{\frac{Eq}{m}}$=$\sqrt{\frac{mL}{Eq}}$；
（2）C離子做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示；
將速度和加速度方向均分解為沿MN和垂直于MN方向，當(dāng)垂直MN方向上的速度為零時(shí)，粒子離斜面最遠(yuǎn)，則有：
0=v₀cos45°-acos45°t
解得：t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{\sqrt{\frac{qEL}{4m}}}{\frac{Eq}{m}}$=$\sqrt{\frac{mL}{4Eq}}$；
即C離子在第一次到達(dá)MN前離MN最遠(yuǎn)所用時(shí)間為$\sqrt{\frac{mL}{4Eq}}$；
（3）AB粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v=$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{qEL}{m}}$
由Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$可知：
在磁場(chǎng)中的軌道半徑，R=$\frac{mv}{Bq}$
要使AB粒子均能再回到出發(fā)點(diǎn)P，則粒子先在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示；
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系可知，
粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過270°，則可知由MN面上出來時(shí)，方向豎直向下，到達(dá)P點(diǎn)的時(shí)間t=$\frac{R}{v}$
則有：
R=l+$\frac{1}{2}a（\frac{R}{v}）^{2}$
聯(lián)止以上各式解得：R=3L或R=$\frac{3}{2}L$
解得：B₁=$\sqrt{\frac{Em}{4Lq}}$
B₂=$\sqrt{\frac{Em}{4Lq}}$
答：（1）A、B兩粒子第一次經(jīng)過MN的時(shí)間差為$\sqrt{\frac{mL}{Eq}}$．
（2）經(jīng)過時(shí)間$\sqrt{\frac{mL}{4Eq}}$，C離子在第一次到達(dá)MN前離MN最遠(yuǎn)．
（3）A、B兩離子第一次從磁場(chǎng)又回到電場(chǎng)時(shí)，都能經(jīng)過出發(fā)點(diǎn)P，則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為解得：$\sqrt{\frac{Em}{4Lq}}$或$\sqrt{\frac{Em}{4Lq}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要注意明確在磁場(chǎng)中要注意圓心和半徑的計(jì)算，而在電場(chǎng)中要注意正確利用運(yùn)動(dòng)的合成和分解運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用，注意在分析最遠(yuǎn)距離時(shí)采用了將速度和加速度均向MN和垂直于MN方向上進(jìn)行分解的方式．