Question

1．如圖所示，傾角θ的光滑斜面上，在一個(gè)寬度是L的區(qū)域內(nèi)有垂直斜面方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一質(zhì)量m邊長也是L的正方形線框，從ab邊與磁場邊界重合處靜止釋放，線框的cd邊出磁場時(shí)已達(dá)到穩(wěn)定速度，已知線框的阻值R，線框進(jìn)出磁場的過程中ab邊與磁場邊界始終平行，重力加速度為g，求
（1）線框達(dá)到的穩(wěn)定速度及全過程產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）線框穿過磁場所需要的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）線框的cd邊出磁場時(shí)已達(dá)到穩(wěn)定速度，沿斜面向下做勻速運(yùn)動(dòng)，由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$，F(xiàn)_安=BIL，及平衡條件列式，即可求得速度．線框的機(jī)械能減少轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求解即可焦耳熱．
（2）對(duì)全過程，運(yùn)用動(dòng)量定理列式，從而求解時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)線框的cd邊出磁場時(shí)，達(dá)到的穩(wěn)定速度為v．
由E=BLv，$I=\frac{E}{R}$，則得 $F=BIL=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}$
根據(jù)平衡條件得 $mgsinθ=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}$，$v=\frac{mgRsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$
全過程動(dòng)能定理：$2mgLsinθ-{W_安}=\frac{1}{2}m{v^2}$
則$Q={W_安}=2mgLsinθ-\frac{{{m^3}{g^2}{R^2}si{n^2}θ}}{{2{B^4}{L^4}}}$
（2）設(shè)ab邊通過磁場的時(shí)間為t₁，此過程平均電流為$\overline{I_1}$，流過線框的電量大小為q₁，此過程安培力的沖量為 $B\overline{I_1}L{t_1}=BL{q_1}=BL\frac{△φ}{R}=BL\frac{{B{L^2}}}{R}=\frac{{{B^2}{L^3}}}{R}$
同理可得cd邊通過磁場過程中安培力的沖量為 $B\overline{I_2}L{t_2}=\frac{{{B^2}{L^3}}}{R}$
全過程動(dòng)量定理：$mgtsinθ-B\overline{I_1}L{t_1}-B\overline{I_2}L{t_2}=mv$
則得  $t=\frac{mR}{{{B^2}{L^2}}}+\frac{{2{B^2}{L^3}}}{mgRsinθ}$
答：
（1）線框達(dá)到的穩(wěn)定速度是$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$，全過程產(chǎn)生的焦耳熱為2mgLsinθ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．
（2）線框穿過磁場所需要的時(shí)間是$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$+$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}}{mgRsinθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是導(dǎo)軌類問題，首先要分析線框的運(yùn)動(dòng)情況，正確推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，然后運(yùn)用動(dòng)能定理和動(dòng)量定理列式求解．