Question

1．如圖所示，水平地面上固定一個內壁光滑的“J”形管ABC，“J”形管在豎直平面內，BC部分是一個半徑為R的半圓管道，AB部分是一個長度為2R的直管道，直管道AB垂直于半圓管道的直徑BC，直徑BC與豎直方向的夾角為θ（0°＜θ≤90°），將一可視為質點的小球從A端由靜止沿管道釋放，重力加速度為g，求：
（1）當θ取多大角度時，小球在直管道中運動的時間最短，最短時間為多少？
（2）當θ取多大角度時，小球到達C端速度最大，最大速度為多少？

Answer 1

分析 （1）小球從A運動到B做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再根據(jù)位移時間公式求出時間的表達式即可；
（2）先根據(jù)幾何關系求出A到C的高度差，從A到C的過程中，根據(jù)動能定理列式求出C點的速度表達式，再根據(jù)數(shù)學知識求解最大值．

解答 解：（1）小球從A運動到B做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律得：
a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ
根據(jù)2R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{4R}{gsinθ}}$，
當θ=90°時，t最短，最短時間為：${t}_{min}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
（2）根據(jù)幾何關系可知，A到C的高度差為：h=2Rsinθ+2Rcosθ，
從A到C的過程中，根據(jù)動能定理得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg（2Rsinθ+2Rcosθ）$
解得：v=$\sqrt{4gR（sinθ+cosθ）}$=$\sqrt{2\sqrt{2}gRsin（θ+45°）}$，
當θ=45°時，v最大，最大為${v}_{m}=\sqrt{2\sqrt{2}gR}$．
答：（1）當θ取90°角度時，小球在直管道中運動的時間最短，最短時間為$\sqrt{\frac{4R}{g}}$；
（2）當θ取45°角度時，小球到達C端速度最大，最大速度為$\sqrt{2\sqrt{2}gR}$．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律、運動學基本公式以及動能定理的直接應用，解題時注意數(shù)學知識的應用，難度適中．