Question

如圖所示，輕質(zhì)長繩水平地跨在相距2L的兩個(gè)小定滑輪A、B上，質(zhì)量為m的物塊懸掛在繩上O點(diǎn)，O與A、B兩滑輪的距離相等，在輕繩兩端C、D分別施加豎直向下的恒力F=mg．先托住物塊，使繩處于水平拉直狀態(tài)，靜止釋放物塊，在物塊下落過程中，保持C、D兩端的拉力F不變．
（1）當(dāng)物塊下落距離h為多大時(shí)，物塊的加速度為零．
（2）求物塊下落過程中的最大速度v_m
（3）求物塊下落過程中的最大距離H．

Answer 1

分析：由靜止釋放后，由于繩OC和繩OB對(duì)物塊的合力小于重力，所以物塊向下先作加速運(yùn)動(dòng)，隨著物塊的下落，兩繩間的夾角逐漸減�。�因?yàn)槔K子對(duì)物塊的拉力大小不變，恒等于F，所以隨著兩繩間的夾角減小，兩繩對(duì)物塊拉力的合力將逐漸增大，物塊所受的合力逐漸減小，向下加速度逐漸減�。�當(dāng)物兩繩的合力等于物塊的重力時(shí)，即塊的合外力為零時(shí)，速度達(dá)到最大值v_m．故加速度為零時(shí)重力等于兩繩的合力．之后，因?yàn)閮衫K間夾角繼續(xù)減小，兩繩合力大于物塊的重力，物塊所受合外力豎直向上，且逐漸增大，物塊將作加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)物塊下降速度減為零時(shí)，物塊豎直下落的距離達(dá)到最大值H．當(dāng)物塊的加速度為零時(shí)，由共點(diǎn)力平衡條件可求出相應(yīng)的θ角，再由θ角求出相應(yīng)的距離h，進(jìn)而求出克服C端恒力F所做的功．對(duì)物塊運(yùn)用動(dòng)能定理可求出物塊下落過程中的最大速度Vm和最大距離H．
（1）故加速度為零時(shí)應(yīng)有重力等于兩繩的合力．
（2）由于下落h時(shí)速度為v_m，故由動(dòng)能定理即可求出v_m；
（3）物塊速度為零時(shí)下落距離為H，由動(dòng)能定理求解H．

解答：解：（1）當(dāng)物塊所受的合外力為零時(shí)，加速度為零，此時(shí)物塊下降距離為h．因?yàn)镕恒定，所以兩繩對(duì)物塊拉力大小分別為F，兩繩與豎直方向夾角均為θ，由平衡條件知：

2Fcosθ=mg    
2θ=120°，所以θ=60°，
由圖知：h=Ltan30°=

3

3

L ①
（2）物塊下落h時(shí)，繩的C、D端均上升h′由幾何關(guān)系可得：h′=

l2+h2

-L ②
克服C端恒力F做的功為：W=Fh′③
由①②③式聯(lián)立解得：W=（

2 3

3

-1）mgL
在物塊下落過程中，共有三個(gè)力對(duì)物塊做功．重力做正功，兩端繩子對(duì)物塊的拉力做負(fù)功．兩端繩子拉力做的功就等于作用在C、D端的恒力F所做的功．因?yàn)槲飰K下降距離h時(shí)動(dòng)能最大．由動(dòng)能定理得：
mgh-2W=

1

2

m

v

2 m

  ④
將①②③式代入④式解得：v_m=（

3

-1）

gl

（3）當(dāng)物塊速度減小為零時(shí)，物塊下落距離達(dá)到最大值H，繩C、D上升的距離為H’．由動(dòng)能定理得：
mgH-2mgH′=0，又H′=

H2+l2

-L，
聯(lián)立解得：H=

4

3

l．
答：（1）當(dāng)物塊下落距離h為

3

3

L時(shí)，物塊的加速度為零．
（2）物塊下落過程中的最大速度v_m為=（

3

-1）

gl

；
（3）物塊下落過程中的最大距離H為

4

3

l．

點(diǎn)評(píng)：本題是連接體問題，根據(jù)牛頓第二定律研究加速度為零時(shí)的條件，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒研究物塊下降的最大距離，同時(shí)要合理運(yùn)用幾何關(guān)系輔助求解．