Question

3．如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠小于R），小球a、b大小相同，質量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動，兩球先后以相同的速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法不正確的是（　�。�

• A． 當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mg
• B． 當v=$\sqrt{5gR}$時，小球b在軌道最高點對軌道無壓力
• C． 速度v只至少為2$\sqrt{gR}$，才能使兩球在管內做圓周運動
• D． 只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力大6mg

Answer 1

分析 小球在圓環(huán)的內側運動，相當于圓周運動中的桿的模型，此時在最高的速度是可以為零的，在整個運動的過程中小球的機械能守恒，可以求得小球到達最低端是的速度和需要的向心力的大�。�

解答 解：A、B、C、由于管中沒有摩擦力的作用，所以球的機械能守恒，當小球b在最高點對軌道無壓力，即只有重力做為向心力，
所以mg=m$\frac{{{v}_}^{2}}{R}$，所以在最高點時b球的速度的大小為$\sqrt{gR}$，
所以C錯誤；
從最高點到最低點，由機械能守恒可得，mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_b²=$\frac{1}{2}$mv²，
對于a球，在最低點是，由向心力的公式可得 F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
所以：v=$\sqrt{5gR}$
F-mg=5mg，
所以此時的向心力的大小為5mg，
所以小球a比小球b所需向心力大4mg，故A錯誤，B正確，C錯誤；
D、最高點時F₁=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$-mg，
在最低點時，F(xiàn)₂=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$+mg，
由機械能守恒有$\frac{1}{2}$mv₁²+mg2R=$\frac{1}{2}$mv₁²，
所以F₂-F₁=6mg．所以只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力大6mg．故D正確．
故選：BD．

點評 該題考查豎直平面內的圓周運動，內管可以對小球提供支持力，可化為輕桿模型，在最高點時，小球速度可以為零，與繩的模型一定要區(qū)分開．