Question

17．如圖所示，空間分布著有理想邊界的勻強電場和勻強磁場．勻強磁場分為Ⅰ、Ⅱ兩個區(qū)域．其邊界為MN、PQ，磁感應(yīng)強度大小均為B，方向如圖所示，Ⅰ區(qū)域高度為d，Ⅱ區(qū)域的高度足夠大．一個質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的小球從磁場上方的O點由靜止開始下落，進入電、磁復(fù)合場后，恰能做勻速圓周運動．
（1）求電場強度E的大小
（2）若帶電小球經(jīng)一定的時間后恰能回到O點，h應(yīng)滿足什么條件？
（3）求從O點出發(fā)到第一次會到O點用時間t．

Answer 1

分析 （1）帶電小球恰能做勻速圓周運動，則小球所受重力與電場力相等，列式可求得電場強度E的大�。�
（2）小球在混合場中做勻速圓周運動，速率不變，只有小球從進入磁場的位置離開磁場，然后做豎直上拋運動，才有可能回到出發(fā)點，由動能定理、牛頓第二定律可以求出釋放點的高度．
（3）畫出粒子運動軌跡示意圖．根據(jù)運動學(xué)公式求出自由下落的時間．根據(jù)軌跡對應(yīng)的圓心角求解在復(fù)合場中的時間．

解答 解：（1）帶電小球進入復(fù)合場后恰能做勻速圓周運動，則電場力與重力平衡，得
  mg=qE，解得 E=$\frac{mg}{q}$．
（2）只有小球從進入磁場的位置離開磁場，做豎直上拋運動，才能恰好回到O點，
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
又由洛倫茲力提供向心力，有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由幾何關(guān)系得：Rsin60°=d
解得：h=$\frac{2spfdwjh^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3g{m}^{2}}$
（3）畫出粒子的運動軌跡，如下圖所示，
帶點粒子在磁場運動周期：T=$\frac{2πR}{v}$，h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，t₂=$\frac{7}{6}$T
從O點出發(fā)到第一次會到O點用時間 t=2t₁+t₂
解得 t=$\frac{7πm}{3qB}$+$\frac{8udbfywp^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3{g}^{2}{m}^{2}}$
答：
（1）電場強度E的大小是$\frac{mg}{q}$．
（2）若帶電小球經(jīng)一定的時間后恰能回到O點，h應(yīng)滿足的條件是 h=$\frac{2aa64lge^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3g{m}^{2}}$．
（3）從O點出發(fā)到第一次會到O點用時間t得$\frac{7πm}{3qB}$+$\frac{8jjhki6t^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3{g}^{2}{m}^{2}}$．

點評 本題是一道難題，分析清楚粒子的運動過程、作出粒子運動軌跡，熟練應(yīng)用動能定律、牛頓第二定律、數(shù)學(xué)知識即可正確解題．