Question

14．在光滑絕緣的水平面上，豎直放置兩塊無限長的平行金屬板A、B，相距d=1.0m，兩板間電壓為U=2500V，同時(shí)兩板間還存在電場強(qiáng)度為E₁=2500N/C，方向水平且平行于金屬板的勻強(qiáng)電場（忽略場的邊緣效應(yīng)），如圖所示為俯視圖．xox’為水平面上垂直兩金屬板的直線，O點(diǎn)與兩板距離相等，在O點(diǎn)有一微粒源（忽略微粒源對(duì)微粒運(yùn)動(dòng)的影響），釋放方向沿水平面質(zhì)量m=2.5×10^-3kg、帶正電荷q=+1.0×10^-5C的球形微粒（可看作點(diǎn)電荷）．過O點(diǎn)作半徑R=0.25m的圓，圓心O′在過O點(diǎn)右下方45°的直線上．P、M、S、N分布在圓周上，O′S與OO′垂直，∠OO′P=θ，∠MO′S=∠SO′N=α=30°． 不計(jì)電荷間的相互作用，求：
（1）初速度為零的微粒運(yùn)動(dòng)到平行板的動(dòng)能
（2）初速度大小不等，方向均與xox’成45°角斜向右上方，經(jīng)過一段時(shí)間通過P點(diǎn)的微粒初速度v₀與θ的關(guān)系
（3）確定在穿過圓周MSN段的微粒中，穿越時(shí)的最大動(dòng)能和最小動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）靜止的帶電微粒在重力與電場力作用下，使其動(dòng)能增加，則由動(dòng)能定理可求出微粒從O點(diǎn)到平行板的動(dòng)能；
（2）微粒從O點(diǎn)開始作類平拋運(yùn)動(dòng)，因此可將此運(yùn)動(dòng)沿初速度方向與加速度方向進(jìn)行分解，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可列式，從而求出通過P點(diǎn)的微粒初速度υ₀與θ的關(guān)系；
（3）根據(jù)動(dòng)能的表達(dá)中的θ來確定動(dòng)能的最大值與最小值．

解答 解：（1）帶電微粒在電場中受重力和電場力F_E=qE=2.5×10^-2N
                              G=mg=2.5×10^-2N
則F_合=$\sqrt{{F}_{E}^{2}+{G}^{2}}$=2.5$\sqrt{2}$×10^-2N
因?yàn)镕_E=G，所以合力方向與水平方向成45°角斜右向下，
如圖所示．                            
W_合=△E_k
E_k=$\sqrt{2}$F_合×$\fracozmscif{2}$=2.5×10^-2J
（2）
微粒做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有：Rsinθ=v₀t
且R-Rcosθ=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
根據(jù)牛頓第二定律，則有：F=ma
解得：v₀=$\sqrt{\frac{5\sqrt{2}（1+cosθ）}{4}}$
（3）由上式結(jié)論得粒子從O點(diǎn)出發(fā)時(shí)的動(dòng)能為E_ko=$\frac{1}{2}$mυ₀²=$\frac{25\sqrt{2}×1{0}^{-3}（1+cosθ）}{16}$
從O到P過程中，由動(dòng)能定理，$\sqrt{2}qER（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
則經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為：E_KP=$\frac{1}{2}$mυ₀²+$\sqrt{2}$qE（R-Rcosθ）=$\frac{25\sqrt{2}×1{0}^{-3}（5-3cosθ）}{16}$
可以看出，當(dāng)θ從0°變化到180°，微粒穿越圓周時(shí)的動(dòng)能逐漸增大，因此穿過M點(diǎn)的微粒動(dòng)能最小，穿過N點(diǎn)的微粒動(dòng)能最大．
最小動(dòng)能為：E_KM=$\frac{\sqrt{2}}{16}$mg（5-3cos60°）≈7.7×10^-3 J
最大動(dòng)能為：E_KN=$\frac{\sqrt{2}}{16}$mg（5-3cos120°）≈0.0144J
答：（1）初速度為零的微粒運(yùn)動(dòng)到平行板的動(dòng)能2.5×10^-2J；
（2）經(jīng)過一段時(shí)間通過P點(diǎn)的微粒初速度v₀與θ的關(guān)系為$\sqrt{\frac{5\sqrt{2}（1+cosθ）}{4}}$；
（3）穿越時(shí)的最大動(dòng)能7.7×10^-3J和最小動(dòng)能1.44×10²J．

點(diǎn)評(píng) 考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，涉及到直線運(yùn)動(dòng)中的勻加速與勻減速；曲線運(yùn)動(dòng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)，同時(shí)體現(xiàn)處理平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．并由數(shù)學(xué)知識(shí)來確定動(dòng)能的極大值與極小值．