Question

如圖所示，已知半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，甲軌道左側(cè)又連接一個光滑的軌道，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連．一小球自某一高度由靜止滑下，先滑上甲軌道，通過動摩擦因數(shù)為μ的CD段，又滑上乙軌道，最后離開圓軌道．若小球在兩圓軌道的最高點(diǎn)對軌道壓力都恰好為零．試求：
（1）分別經(jīng)過C、D時的速度；
（2）小球釋放的高度h；
（3）水平CD段的長度．

Answer 1

（1）小球在光滑圓軌道上滑行時，機(jī)械能守恒，設(shè)小球滑過C點(diǎn)時的速度為v_c，通過甲環(huán)最高點(diǎn)速度為v′，根據(jù)小球?qū)ψ罡唿c(diǎn)壓力為零，有
 mg=m 

v′2

R

                ①
取軌道最低點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，由機(jī)械守恒定律
 

1

2

m

v

2c

=mg?2R+

1

2

mv′2   ②
由①、②兩式消去v′，可得　
　vc =

5gR

　　　　　　    ③
同理可得小球滑過D點(diǎn)時的速度
　　vD=

5gr

　　　　　　　 ④
所以小球經(jīng)過C點(diǎn)的速度為

5gR

  經(jīng)過D點(diǎn)的速度為

5gr

（2）小球從在甲軌道左側(cè)光滑軌道滑至C點(diǎn)時機(jī)械能守恒，有
    mgh=

1

2

m

v

2c

　          ⑤
由③、⑤兩式聯(lián)立解得
       h=2.5R
因此小球釋放的高度為2.5R
（3）設(shè)CD段的長度為l，對小球滑過CD段過程應(yīng)用動能定理
　-μmgl=

1

2

m

v

2D

-

1

2

m

v

2c

   ⑥
由③、④、⑥三式聯(lián)立解得
           l=

5(R-r)

2μ

則有水平CD段的長度為

5(R-r)

2μ