Question

太陽系以外存在著許多恒星與行星組成的雙星系統(tǒng)．它們運(yùn)行的原理可以理解為，質(zhì)量為M的恒星和質(zhì)量為m的行星（M＞m），在它們之間的萬有引力作用下有規(guī)則地運(yùn)動(dòng)著．如圖所示，我們可認(rèn)為行星在以某一定點(diǎn)C為中心、半徑為a的圓周上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（圖中沒有表示出恒星）．設(shè)萬有引力常量為G，恒星和行星的大小可忽略不計(jì)．
（1）恒星與點(diǎn)C間的距離是

 

；
（2）試在圖中粗略畫出恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置；
（3）計(jì)算恒星的運(yùn)行速率v．

Answer 1

分析：（1）恒星與行星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，相互之間的萬有引力提供各自的向心力，而且兩顆恒星有相同的角速度和周期．根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)兩星進(jìn)行列式，來求解．
（2）根據(jù)恒星、行星與圓心C總在同一直線上，畫出恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置；
（3）根據(jù)萬有引力等于向心力，由牛頓第二定律列式求解恒星的運(yùn)行速率v．

解答：解：（1）對(duì)行星m，F(xiàn)=mω²R_m…①
對(duì)恒星M，F(xiàn)′=Mω²R_M…②
則得 RM=

m

M

a
（2）恒星與行星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，恒星、行星與圓心C總在同一直線上，恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置大致如圖．
（3）對(duì)恒星M：

Mv2

RM

=G

Mm

(Rm+RM)2

代入數(shù)據(jù)得 v=

m

M+m

GM a

答：（1）

m

M

a
（2）如圖所示．
（3）恒星的運(yùn)行速率v為

m

M+m

GM a

．

點(diǎn)評(píng)：本題是雙星問題，關(guān)鍵抓住兩點(diǎn)：一是雙星由相互間的萬有引力提供向心力；雙星的條件是：角速度或周期相等．