Question

14．如圖所示，一粗糙斜面AB與光滑圓弧軌道BCD相切，O為圓弧軌道的圓心，OD處在同一水平面上，C為圓弧軌道的最低點，圓弧BC所對圓心角θ=37°．已知斜面AB的長度為L=2.0m，圓弧軌道半徑為R=0.5m．質量為m=1kg的小物塊（可視為質點）從斜面頂端A點處由靜止開始沿斜面下滑，從B點進入圓弧軌道運動并從軌道邊緣D點豎直向上飛出，離開D點以后上升的最大高度為h=0.4m，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力不計，求：
（1）物塊第一次經C點時對圓弧軌道的壓力；
（2）物塊第一次返回斜面運動的最高點距A點的距離．

Answer 1

分析 （1）物塊離開D點做豎直上拋運動，由勻變速直線運動的速度位移公式可以求出物塊到達D點的速度，從C到D過程應由動能定理可以求出物塊到達C點的速度，在C點應由牛頓第二定律可以求出軌道的支持力，然后求出物塊對軌道的壓力．
（2）從A到C過程應由動能定理可以求出動摩擦因數，物塊從C點向斜面運動過程應由動能定理可以求出物塊在斜面上的位移，然后求出物塊第一次返回斜面運動的最高點與A點間的距離．

解答 解：（1）物塊離開D點做豎直上拋運動，
由勻變速直線運動的速度位移公式可知：
v_D=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.4}$=2$\sqrt{2}$m/s，
從C到D過程，由動能定理得：
-mgR=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²，解得：v_C=3$\sqrt{2}$m/s，
在C點，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
解得：F=46N，由牛頓第三定律可知，
物塊對軌道的壓力：F′=F=46N，方向：豎直向下；
（2）物塊從A到C過程，由動能定理得：
mgLsinθ+mgR（1-cosθ）-μmgLcosθ=$\frac{1}{2}$mv_C²-0，
物塊從C點上升到斜面最高點過程，由動能定理得：
-mgSsinθ-mgR（1-cosθ）-μmgScosθ=0-$\frac{1}{2}$mv_C²，解得：S=1m，
物塊第一次返回斜面運動的最高點距A點的距離：d=L-S=2-1=1m；
答：（1）物塊第一次經C點時對圓弧軌道的壓力大小為46N，方向：豎直向下；
（2）物塊第一次返回斜面運動的最高點距A點的距離為1m．

點評 本題考查了求壓力與距離問題，考查了動能定理的應用，分析清楚物體運動過程是解題的前提與關鍵，應用勻變速直線運動規(guī)律、動能定理與牛頓第二定律可以解題．