Question

12．如圖所示，質量為m的滑塊，在水平力F作用下靜止在傾角為θ在光滑斜面上，斜面末端B與水平傳送帶平滑連接，傳送帶沿順時針方向勻速運行速率為v₀，B、C間距離為L；今將水平力F撤去，當滑塊到達傳送帶B點后作勻減速運動，恰好在C端與傳送帶速度相同．已知滑塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，求：
（1）水平作用力F的大小
（2）滑塊下滑高度h
（3）滑塊在傳送帶上滑行的整個過程中產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）對滑塊受力分析，由共點力的平衡條件可得出水平作用力的大��；
（2）由于滑塊滑到B點的速度未知，故應分別對符合條件的兩種情況進行討論，由動能定理可求得滑塊下落的高度；
（3）熱量與滑塊和傳送帶間的相對位移成正比，即Q=fs，由運動學公式求得傳送帶通過的位移，即可求得相對位移．

解答 解：（1）滑塊受到水平推力F、重力mg和支持力N處于平衡，如圖所示：
則水平推力為：F=mgtanθ
（2）設滑塊從高為h處下滑，到達斜面底端速度為v下滑過程機械能守恒：$mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
則v=$\sqrt{2gh}$
若滑塊沖上傳送帶時的速度小于傳送帶速度，則滑塊在帶上由于受到向右的滑動摩擦力而做勻加速運動；根據(jù)動能定理有：
$μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以：$h=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}-μL$
若滑塊沖上傳送帶時的速度大于傳送帶的速度，則滑塊由于受到向左的滑動摩擦力而做勻減速運動；根據(jù)動能定理：
$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$h=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}+μL$
（3）設滑塊在傳送帶上運動的時間為t，則t時間內傳送帶的位移：s=v₀t
v₀=v-at
滑塊相對傳送帶滑動的位移為：△s=L-s
相對滑動生成的熱量為：Q=μmg•△s
解得：$Q=μmgL-{mv}_{0}\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2μgL}$．
答：（1）水平作用力力F大小為mgtanθ；
（2）滑塊下滑的高度為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}-μL$或$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}+μL$；
（3）滑塊在傳送帶上滑行的整個過程中產生的熱量為$μmgL-{mv}_{0}\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2μgL}$．

點評 本題考查了動能定理及機械能守恒，在研究傳送帶問題時，要注意傳送帶與滑塊速度間的關系，從而確定出滑塊的運動情況； 注意熱量一般由摩擦力乘以相對位移求出．