Question

2．已知地球與月球質(zhì)量比為81：1，半徑之比為 4：1，在地球表面上發(fā)射衛(wèi)星，至少需要7.9km/s的速度．求：
（1）地球與月球的表面重力加速度之比；
（2）在月球上發(fā)射一顆環(huán)繞月球表面運(yùn)行的飛行物需要多大的速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力，運(yùn)用比例法求解即可．
（2）在月球上發(fā)射一顆環(huán)繞月球表面運(yùn)行的飛行物的速度就是月球的第一宇宙速度．地球的第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度．
根據(jù)萬有引力提供向心力，分別對近地衛(wèi)星和近月衛(wèi)星列式，根據(jù)月球質(zhì)量和地球質(zhì)量的關(guān)系，月球半徑和地球半徑的關(guān)系，根據(jù)第一宇宙速度的表達(dá)式求出月球的第一宇宙速度和地球第一宇宙速度的關(guān)系，從而求出月球的第一宇宙速度大小．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力定律有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，
整理后得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
則地球與月球的表面重力加速度之比為：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{81}{16}$
（2）發(fā)射環(huán)繞地球表面運(yùn)行的飛行物時，有：$\frac{G{M}_{地}m}{{{R}_{地}}^{2}}=m\frac{{{v}_{地}}^{2}}{{R}_{地}}$
發(fā)射環(huán)繞月球表面運(yùn)行的飛行物時，只有：$\frac{G{M}_{月}m}{{{R}_{月}}^{2}}=m\frac{{{v}_{月}}^{2}}{{R}_{月}}$
由此即可得：v_月=$\sqrt{\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}}{v}_{地}=\sqrt{\frac{1}{81}×\frac{4}{1}}×$7.9km/s=$\frac{79}{45}$km/s≈1.76km/s
答：（1）地球與月球的表面重力加速度之比$\frac{81}{16}$；
（2）在月球上發(fā)射一顆環(huán)繞月球表面運(yùn)行的飛行物需要約為1.76km/s的速度．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵要知道什么是第一宇宙速度，掌握向心力問題的基本思路：萬有引力提供向心力．