Question

6．如圖所示的豎直平面內(nèi)，相距為d不帶電且足夠大的平行金屬板M、N水平固定放置，與燈泡L、開關(guān)S組成回路并接地，M板上方有一帶電微粒發(fā)射源盒D，燈泡L的額定功率與電壓分別為P_L、U_L．電荷量為q、質(zhì)量為m₁的帶電微粒以水平向右的速度v₀從D盒右端口距M板h高處連續(xù)發(fā)射，落在M板上其電荷立即被吸收且在板面均勻分布，板間形成勻強電場，當M板吸收一定電量后閉合開關(guān)S，燈泡能維持正常發(fā)光，質(zhì)量為m₂的帶電粒子Q以水平速度從左側(cè)某點進入板間，并保持該速度穿過M、N板．設(shè)帶電微�？梢暈橘|(zhì)點，重力加速度為g，忽略帶電微粒間的相互作用及空氣阻力，試分析下列問題：
（1）初始時帶電微粒落在M板上的水平射程為多少？
（2）D盒發(fā)射功率多大？
（3）若在M、N板間某區(qū)域加上磁感應(yīng)強度為B、方向垂直于紙面的勻強磁場，使Q粒子在紙面內(nèi)無論從左側(cè)任何位置以某最小的水平速度進入，都能到達N板上某定點O，求該Q粒子的最小速度和所加磁場區(qū)域為最小時的幾何形狀及位置．

Answer 1

分析 （1）小球在空間中做平拋運動，由運動的合成與分解，由兩個分運動的位移可求得水平射程的大��；
（2）燈泡正常發(fā)光，金屬板M、N間的電壓為U_L．由功率公式P=UI及電流公式I=$\frac{q}{t}$及電流的微觀定義可求得分子個數(shù)；再根據(jù)功率知識求解．
（3）由題意可明確粒子在復(fù)合場中做勻速圓周運動，電場力與重力平衡，根據(jù)幾何關(guān)系及洛侖茲力充當向心力規(guī)律可明確磁場最小時的幾何形狀及位置．

解答 解：（1）由題知，在初始時M板不帶電，帶電微粒在空間做平拋運動．設(shè)帶電微粒到達M板的時間為t₁，水平射程為l₁，有：
 $h=\frac{1}{2}gt_1^2$…①
 l₁=v₀t₁…②
聯(lián)立①、②，得 ${l_1}=\frac{v_0}{g}\sqrt{2gh}$…③
（2）燈泡正常發(fā)光，金屬板M、N間的電壓為U_L，由電容器知識可知，金屬板M、N所帶電量為定值．這時落到板M的電量全部流過燈泡．設(shè)流過燈泡的電流為I_L，在時間t內(nèi)流過燈泡的電量為Q_L，有P_L=I_LU_L…④Q_L=I_Lt…⑤
設(shè)單位時間發(fā)射帶電微粒的個數(shù)為n，有Q_L=nqt…⑥
聯(lián)立④⑤⑥，得 $n=\frac{P_L}{{q{U_L}}}$…⑦
根據(jù)功率知識，有 ${P_D}=\frac{W}{t}=n{E_k}=n\frac{1}{2}m{\;}_1v_0^2=\frac{{{m_1}{P_L}v_0^2}}{{2q{U_L}}}$…⑧
（3）閉合開關(guān)S后，M、N板間為勻強電場，Q進入后速度不變，則說明Q所受電場力與重力平衡，設(shè)Q粒子電荷量為q₂有q₂$\frac{U_L}rnyyjxd$₌m₂g，${q_2}=\frac{{{m_2}gd}}{U_L}$…⑨
再進入磁場區(qū)域必做勻速圓周運動．以O(shè)點為坐標原點如圖建立直角坐標系xOy，Q進入板間做勻速直線運動，到達G點時進入磁場做勻速圓周運動到達O點．設(shè)Q做勻速圓周運動的圓心為C，半徑為r，OC與水平方向的夾角為θ，G點的坐標為（x，y），有
 x=-rcosθ…⑩
 y=r+rsinθ…（11）
聯(lián)立⑨⑩式，得
 x²+（y-r）²=r²…（12）
由（12）式知道磁場在y軸左邊的邊界為半圓，要讓Q粒子以最小速度在板間任何位置水平入射進入且又要該圓為最小，必有
 r=$\frac{1}{2}$d…（13）
Q靠近M板進入磁場時做勻速圓周運動的軌跡為y軸右邊的半圓，其方程為 ${x^2}+{（y-\fracfkammxa{2}）^2}={（{\fracugyyxhl{2}}）^2}$…（14）
Q從其它位置進入磁場做勻速圓周運動的軌跡不會超出y軸與此半圓所圍區(qū)域，故磁場在y軸右邊區(qū)域最小的邊界也為該半圓，則磁場的最小區(qū)域為圓，半徑為$\frac{1}{2}$d，圓心為距O點$\frac{1}{2}$d的板間中心處．
由圓周運動知識，對Q粒子有 ${q_2}B{v_{min}}={m_2}\frac{{v_{min}^2}}{r}$…（15）
得${v_{min}}=\frac{{{q_2}Br}}{m_2}=\frac{{gB{d^2}}}{{2{U_L}}}$…（16）
答：
（1）初始時帶電微粒落在M板上的水平射程為$\frac{{v}_{0}}{g}\sqrt{2gh}$．
（2）D盒發(fā)射功率為$\frac{{m}_{1}{P}_{L}{v}_{0}^{2}}{2q{U}_{L}}$．
（3）該Q粒子的最小速度為$\frac{gByebftqy^{2}}{2{U}_{L}}$，所加磁場區(qū)域為最小時的幾何形狀為圓，圓心位置在距O點$\frac{1}{2}$d的板間中心處．

點評 本題考查了帶電體在電場和磁場中的運動，要注意明確帶電小球的重力不能忽略；故小球在磁場中做勻速圓周運動時，重力與電場力相互平衡．